《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

1.（2023广西梧州苍梧期中）二次函数$y = -3x^{2}$的图象一定经过(M9201002) （ ）
A.第一、二象限
B.第三、四象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限

答案： B $\because$ 二次函数$y = -3x^{2}$中，$a = -3 ＜ 0$，$\therefore$ 图象开口向下，顶点是原点，$\therefore$ 二次函数$y = -3x^{2}$的图象一定经过第三、四象限，故选 B.

2.二次函数$y = ax^{2}$的图象如图所示，则不等式$ax ＞ a$的解集是 （ ）

A.$x ＞ 1$
B.$x ＜ 1$
C.$x ＞ -1$
D.$x ＜ -1$

答案： B 由图象可知$a ＜ 0$，$\therefore$ 不等式$ax ＞ a$的解集为$x ＜ 1$. 故选 B.

3.（2023广东东莞石龙三中第一次段考）关于函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的图象，有下列说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是$y$轴；④顶点坐标是$(0,0)$.其中正确的有(M9201002) （ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： D $\because$ 二次函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}$，$\therefore$ 函数图象是抛物线，开口向下，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$，$\therefore$ ①②③④正确. 故选 D.

4.（2023湖南郴州期末）已知二次函数$y = (a - 2)x^{2}$，当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A.$a ＞ 0$
B.$a ＞ 2$
C.$a \neq 2$
D.$a ＜ 2$

答案： D $\because$ 对于$y = (a - 2)x^{2}$，当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore$ 抛物线开口向下，$\therefore a - 2 ＜ 0$，$\therefore a ＜ 2$. 故选 D.

5.[教材变式·P102]（2024北京门头沟期中）关于四个函数$y = -2x^{2},y = \frac{1}{3}x^{2},y = 3x^{2},y = -\frac{1}{3}x^{2}$的图象与性质的共同点，下列说法正确的是 （ ）
A.图象开口向上
B.图象都有最低点
C.图象对称轴是$y$轴
D.$y$随$x$的增大而增大

答案： C 抛物线$y = -2x^{2}$和$y = -\frac{1}{3}x^{2}$的开口向下，有最高点，对称轴是$y$轴，当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大. 抛物线$y = \frac{1}{3}x^{2}$和$y = 3x^{2}$的开口向上，有最低点，对称轴是$y$轴，当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以这四个函数图象与性质的共同点是图象对称轴是$y$轴，故选 C.

6.[一题多解]（2022湖南邵阳武冈期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$的大小关系是 ____________.（请用“＞”连接）(M9201002)

答案：
 $a_{1} ＞ a_{2} ＞ a_{3} ＞ a_{4}$
解析 【解法一】开口比较法：$\because$ 抛物线$y = a_{1}x^{2}$的开口小于抛物线$y = a_{2}x^{2}$的开口，且抛物线$y = a_{1}x^{2}$与$y = a_{2}x^{2}$的开口向上，$\therefore a_{1} ＞ a_{2} ＞ 0$.$\because$ 抛物线$y = a_{3}x^{2}$的开口大于抛物线$y = a_{4}x^{2}$的开口，且抛物线$y = a_{3}x^{2}$与$y = a_{4}x^{2}$的开口向下，$\therefore a_{4} ＜ a_{3} ＜ 0$，故$a_{1} ＞ a_{2} ＞ a_{3} ＞ a_{4}$.
【解法二】特殊点位置法：如图，$\because$ 直线$x = 1$与四条抛物线的交点从上到下依次为点$(1,a_{1})$，$(1,a_{2})$，$(1,a_{3})$，$(1,a_{4})$，$\therefore a_{1} ＞ a_{2} ＞ a_{3} ＞ a_{4}$.

7.（2023江苏盐城阜宁期末,8,★☆☆）在同一直角坐标系中，函数$y = kx$与$y = kx^{2}(k \neq 0)$的图象可能是(M9201002) （ ）

答案： C 当$k ＞ 0$时，函数$y = kx$的图象是经过第一、三象限且过原点的直线，函数$y = kx^{2}$的图象是开口向上且顶点坐标为$(0,0)$的抛物线. 当$k ＜ 0$时，函数$y = kx$的图象是经过第二、四象限且过原点的直线，函数$y = kx^{2}$的图象是开口向下且顶点坐标为$(0,0)$的抛物线. 两函数图象交点坐标是$(0,0)$和$(1,k)$. 故选 C.

8.分类讨论思想（2023浙江绍兴诸暨新晖联盟模拟,9,★☆☆）已知点$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$为二次函数$y = -x^{2}$图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是 （ ）
A.若$x_{1} ＞ x_{2}$，则$y_{1} ＞ y_{2}$
B.若$x_{1} ＜ x_{2}$，则$y_{1} ＜ y_{2}$
C.若$x_{1}x_{2} ＜ (x_{2})^{2}$，则$y_{1} ＞ y_{2}$
D.若$x_{1}x_{2} ＞ (x_{2})^{2}$，则$y_{1} ＜ y_{2}$

答案： D $\because y = -x^{2}$，$a = -1 ＜ 0$，$\therefore$ 图象对称轴为$y$轴，开口向下，在$y$轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，在$y$轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小. A.$x_{1} ＞ x_{2}$，$y_{1}$不一定大于$y_{2}$，例如$x_{1} = 1$时，$y_{1} = -1$，$x_{2} = -1$时，$y_{2} = -1$，此时$x_{1} ＞ x_{2}$，但是$y_{1} = y_{2}$，故不符合题意. B.$x_{1} ＜ x_{2}$，$y_{1}$不一定小于$y_{2}$，例如$x_{1} = -1$时，$y_{1} = -1$，$x_{2} = 1$时，$y_{2} = -1$，此时$x_{1} ＜ x_{2}$，但是$y_{1} = y_{2}$，故不符合题意. C.$x_{1}x_{2} ＜ (x_{2})^{2}$，$y_{1}$不一定大于$y_{2}$，例如$x_{1} = -2$时，$y_{1} = -4$，$x_{2} = 2$时，$y_{2} = -4$，此时$x_{1}x_{2} ＜ (x_{2})^{2}$，但是$y_{1} = y_{2}$，故不符合题意. D.$\because x_{1}x_{2} ＞ (x_{2})^{2}$，$\therefore x_{1}x_{2} ＞ x_{2}x_{2} ＞ 0$，$\therefore x_{1} ＞ x_{2} ＞ 0$或$x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0$，当$x_{1} ＞ x_{2} ＞ 0$时，$y_{1} ＜ y_{2}$，当$x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0$时，$y_{1} ＜ y_{2}$，故符合题意. 故选 D.

9.（2023湖南湘西州花垣月考,17,★☆☆）如图，大正方形的边长为4，以大正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数$y = 2x^{2}$与$y = -2x^{2}$的图象，则阴影部分的面积是 ________.

答案：  8
解析 $\because$ 函数$y = 2x^{2}$与$y = -2x^{2}$的图象关于$x$轴对称，$\therefore$ 题图中阴影部分的面积是大正方形面积的一半，$\therefore$ 题图中阴影部分的面积是$4\times4\times\frac{1}{2} = 8$.

10.（2023湖南益阳十五中模拟,18,★☆☆）如图，正方形$ABCD、CEFG$的顶点$D、F$都在抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}$上，点$B、C、E$均在$y$轴上.若点$O$是$BC$边的中点，则正方形$CEFG$的边长为 ________.

答案： $1+\sqrt{2}$
解析 $\because$ 点$O$是$BC$边的中点，$\therefore$ 设$OB = OC=\frac{1}{2}BC = a$，且$a ＞ 0$，$\because$ 在正方形$ABCD$中，$DC = BC = 2a$，$DC\perp BC$，$\therefore$ 点$D(-2a,-a)$.$\because$ 点$D(-2a,-a)$在抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}$上，$\therefore -a = -\frac{1}{2}\times(-2a)^{2}$，$\therefore a=\frac{1}{2}$，$\therefore OC=\frac{1}{2}$. 设正方形$CEFG$的边长为$b$，且$b ＞ 0$，$\therefore CE = EF = b$，$\therefore OE = OC + CE=\frac{1}{2}+b$，结合正方形的性质可知点$F(b,-\frac{1}{2}-b)$.$\because$ 点$F(b,-\frac{1}{2}-b)$在抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}$上，$\therefore -\frac{1}{2}-b = -\frac{1}{2}b^{2}$，$\therefore b = 1+\sqrt{2}(b = 1-\sqrt{2}$舍去$)$，故正方形$CEFG$的边长为$1+\sqrt{2}$.