《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

20.(2024湖南长沙泉塘中学月考)(6分)已知二次函数$y = x^{2}-4x + 3$.(M9201002)
(1)求二次函数$y = x^{2}-4x + 3$图象的对称轴和顶点坐标;
(2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数图象的简图;
(3)当y随x的增大而减小时,求x的取值范围.

答案： 解析：\n（1）$y = x^{2}-4x + 3=(x^{2}-4x + 4 - 4)+3=(x - 2)^{2}-1$，$\therefore$二次函数图象的对称轴为直线$x = 2$，顶点坐标为$(2,-1)$.\n（2）抛物线的顶点坐标为$(2,-1)$，当$x = 0$时，$y = x^{2}-4x + 3 = 3$，则抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$.当$y = 0$时，$x^{2}-4x + 3 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$，则抛物线与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$，$(3,0)$.二次函数图象的简图略.\n（3）由图象知，当$x \lt 2$时，$y$随$x$的增大而减小.

21.新考向·新定义试题 (2024湖南常德津市一模)(7分)直线y = ax + b(a≠0)称作抛物线$y = ax^{2}+bx(a≠0)$的关联直线.根据定义回答以下问题.
(1)求证:抛物线$y = ax^{2}+bx$与其关联直线一定有公共点;
(2)当a = 1时,求抛物线$y = ax^{2}+bx$与其关联直线一定都经过的点的坐标(可用字母b表示).

答案： 解析：\n（1）证明：令$ax^{2}+bx = ax + b$，$\therefore ax^{2}+(b - a)x - b = 0$，$\because \Delta=(b - a)^{2}+4ab=(a + b)^{2} \geq 0$，$\therefore ax^{2}+bx = ax + b$一定有实数根，$\therefore$抛物线$y = ax^{2}+bx$与其关联直线一定有公共点.\n（2）所求点是抛物线与其关联直线的交点.当$a = 1$时，$y = x^{2}+bx$，$y = x + b$，联立得$\begin{cases}y = x^{2}+bx\\y = x + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{1}=1\\y_{1}=1 + b\end{cases}$，$\begin{cases}x_{2}=-b\\y_{2}=0\end{cases}$，故当$a = 1$时，抛物线$y = ax^{2}+bx$与其关联直线一定经过的点的坐标为$(1,1 + b)$和$(-b,0)$.

22.(2024湖南益阳沅江三模)(8分)网络销售已经成为一种热门的销售方式,某果园在网络平台上直播销售荔枝.已知该荔枝的成本为6元/千克,销售价格不高于18元/千克,且每售卖1千克荔枝需向网络平台支付2元的相关费用.经过一段时间的直播销售发现,每日销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系.(M9201005)
(1)求y与x的函数解析式.
(2)当每千克荔枝的价格定为多少元时,销售这种荔枝日获利最大?最大利润为多少?

答案： 解析：\n（1）设$y$与$x$的函数解析式为$y = kx + b(k \neq 0)$，把$(8,2200)$和$(14,1600)$代入，得$\begin{cases}8k + b = 2200\\14k + b = 1600\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -100\\b = 3000\end{cases}$，$\therefore y$与$x$的函数解析式为$y = -100x + 3000$.\n（2）设销售这种荔枝的日获利为$w$元，则$w=(x - 6 - 2)(-100x + 3000)=-100x^{2}+3800x - 24000=-100(x - 19)^{2}+12100$.$\because -100 \lt 0$，对称轴为直线$x = 19$，$8 \leq x \leq 18$，$\therefore$当$x = 18$时，$w$取得最大值，为$-100 + 12100 = 12000$.
答：当每千克荔枝的价格定为$18$元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为$12000$元.