《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

4.（2024 湖南常德安乡期末）如图，二次函数$y = ax^{2}-2x + c(a\neq0)$的图象交$x$轴于点$A(-3,0)$，$B(1,0)$，交$y$轴于点$C$，顶点为$D$.
(1)求二次函数的解析式.
(2)点$P$是抛物线的对称轴上一个动点，连接$BP$，$CP$，当$BP + CP$的值最小时，求出点$P$的坐标.
(3)在(2)的条件下，若点$E$是$x$轴上一动点，在直线$BP$上是否存在点$F$，使以$B$，$C$，$E$，$F$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点$F$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
(1) 把$(-3, 0)$，$(1, 0)$代入$y = ax^{2}-2x + c$，得$\begin{cases}9a + 6 + c = 0\\a - 2 + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\c = 3\end{cases}$。
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-x^{2}-2x + 3$。
(2)$\because$点$A$与点$B$关于抛物线的对称轴对称，
$\therefore$当$A$，$P$，$C$三点共线时，$BP + CP$的值最小，此时点$P$为直线$AC$与抛物线对称轴的交点，令$x = 0$，则$y=-x^{2}-2x + 3 = 3$，$\therefore$点$C(0, 3)$。
设直线$AC$的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，将点$A$、$C$的坐标代入，得$\begin{cases}-3k + b = 0\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 3\end{cases}$，$\therefore$直线$AC$的解析式为$y = x + 3$。
由题意可得抛物线的对称轴为直线$x =-\frac{-2}{2\times(-1)}=-1$，将$x=-1$代入$y = x + 3$，得$y = 2$。
$\therefore$点$P$的坐标为$(-1, 2)$。
(3) 存在，点$F$的坐标为$(-2, 3)$或$(4, -3)$。
详解：已知点$B(1, 0)$，点$P(-1, 2)$。
设直线$BP$的解析式为$y = mx + n(m\neq0)$，将$(1, 0)$，$(-1, 2)$代入，得$\begin{cases}m + n = 0\\-m + n = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -1\\n = 1\end{cases}$。
$\therefore$直线$BP$的解析式为$y=-x + 1$。
$\because$点$F$在直线$BP$上，点$E$在$x$轴上，$\therefore$设点$F$的坐标为$(d,-d + 1)$，点$E(x_{0},0)$。
已知以$B$，$C$，$E$，$F$为顶点的四边形是平行四边形，点$B(1, 0)$，点$C(0, 3)$。
当$BC$为对角线时，$0 + 3 = 0+(-d + 1)$，解得$d=-2$，$\therefore$点$F$的坐标为$(-2, 3)$。
当$BE$为对角线时，$0 + 0 = 3+(-d + 1)$，解得$d = 4$，$\therefore$点$F$的坐标为$(4, -3)$。
当$BF$为对角线时，$0+(-d + 1)=0 + 3$，解得$d=-2$，$\therefore$点$F$的坐标为$(-2, 3)$。
综上，在直线$BP$上存在点$F$，使以$B$，$C$，$E$，$F$为顶点的四边形是平行四边形，点$F$的坐标为$(-2, 3)$或$(4, -3)$。

5.（2024 湖南邵阳新宁月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2}+bx + 2(a\neq0)$与$x$轴交于$A$，$B$两点，点$A$的坐标是$(-4,0)$，点$B$的坐标是$(1,0)$，与$y$轴交于点$C$，$P$是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点$P$作$PD\perp x$轴，垂足为$D$，线段$PD$与直线$AC$相交于点$E$.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)连接$OP$，是否存在点$P$，使得$\angle OPD = 2\angle CAO$？若存在，求出点$P$的横坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
(1) 把$(-4, 0)$，$(1, 0)$代入$y = ax^{2}+bx + 2$，得$\begin{cases}16a - 4b + 2 = 0\\a + b + 2 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a =-\frac{1}{2}\\b =-\frac{3}{2}\end{cases}$。
$\therefore$该抛物线的解析式为$y =-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x + 2$。
(2) 存在点$P$，使得$\angle OPD = 2\angle CAO$。
如图，延长$DP$到$H$，使得$PH = OP$，连接$OH$。
$\because PH = OP$，$\therefore\angle H=\angle POH$，$\therefore\angle OPD=\angle H+\angle POH = 2\angle H$。$\because\angle OPD = 2\angle CAO$，$\therefore\angle H=\angle CAO$。
$\therefore\tan H=\tan\angle CAO$，$\therefore\frac{OD}{DH}=\frac{CO}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
$\therefore DH = 2OD$，设$P(t,-\frac{1}{2}t^{2}-\frac{3}{2}t + 2)$，则$OD=-t$，$PD=-\frac{1}{2}t^{2}-\frac{3}{2}t + 2$，$\therefore DH = 2OD=-2t$，$\therefore PH = DH - PD=-2t-(-\frac{1}{2}t^{2}-\frac{3}{2}t + 2)=\frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{2}t - 2$。
$\because PH = OP$，$\therefore\frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{2}t - 2=\sqrt{t^{2}+(-\frac{1}{2}t^{2}-\frac{3}{2}t + 2)^{2}}$。
$\therefore(\frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{2}t - 2)^{2}-(-\frac{1}{2}t^{2}-\frac{3}{2}t + 2)^{2}=t^{2}$。
$\therefore -2t(t^{2}+t - 4)=t^{2}$。
解得$t = 0$（舍去）或$\frac{-3-\sqrt{73}}{4}$或$\frac{-3+\sqrt{73}}{4}$（舍去）。
$\therefore$点$P$的横坐标为$\frac{-3-\sqrt{73}}{4}$。