《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

1.(2024安徽合肥部分中学月考)抛物线$y = x^{2}+x+c$与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$，则抛物线的表达式为 ( )
A.$y = x^{2}+x+3$
B.$y = x^{2}+x - 3$
C.$y = x^{2}+3x+c$
D.$y = x^{2}-3x+c$

答案： B 把$(0, -3)$代入$y = x^{2}+x + c$，得$c = -3$，$\therefore$抛物线的表达式为$y = x^{2}+x - 3$. 故选 B.

2.(2023湖南常德石门三校期末)抛物线的对称轴为直线$x = 3$，最大值为$-5$，且与$y=\frac{1}{2}x^{2}$的图象开口大小相同，则这条抛物线的解析式为 ( )
A.$y = -\frac{1}{2}(x + 3)^{2}+5$
B.$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^{2}-5$
C.$y = \frac{1}{2}(x + 3)^{2}+5$
D.$y = \frac{1}{2}(x - 3)^{2}-5$

答案： B 由题意可设抛物线的解析式为$y = a(x - 3)^{2}-5$，$\because$所求抛物线与$y=\frac{1}{2}x^{2}$的图象开口大小相同，且存在最大值，$\therefore a = -\frac{1}{2}$，$\therefore$这条抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^{2}-5$. 故选 B.

3.(2024福建漳州期中)设二次函数$y = ax^{2}+bx + 2(a\neq0,b$是实数)，已知函数值$y$和自变量$x$的部分对应值如表所示，则该二次函数的表达式为 ( )
|$x$|$\cdots$|$-1$|$0$|$1$|$2$|$3$|$\cdots$|
|$y$|$\cdots$|$5$|$m$|$n$|$2$|$p$|$\cdots$|
A.$y = 2x^{2}-x + 2$
B.$y = x^{2}-2x + 2$
C.$y = -2x^{2}-5x + 2$
D.$y = -x^{2}+2x + 2$

答案： B 把$(-1, 5)$和$(2, 2)$代入$y = ax^{2}+bx + 2$，得$\begin{cases}a - b + 2 = 5\\4a + 2b + 2 = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -2\end{cases}$，$\therefore$该二次函数的表达式为$y = x^{2}-2x + 2$. 故选 B.

4.教材变式·P23T3 抛物线与$x$轴交点的横坐标为$-2$和$1$，且经过点$(2,8)$，则抛物线的表达式为____________.

答案： $y = 2x^{2}+2x - 4$
解析 由题意可设$y = a(x + 2)(x - 1)(a\neq0)$，将$(2, 8)$代入，得$a\times(2 + 2)\times(2 - 1)=8$，解得$a = 2$，则此抛物线的表达式为$y = 2(x + 2)(x - 1)=2x^{2}+2x - 4$.

5.新独家原创 已知二次函数$y = x^{2}+ax - a + 1$的图象经过点$A(-1,m)$和点$B(5,m)$，则该二次函数的表达式为__________.

答案：  $y = x^{2}-4x + 5$
解析 $\because$二次函数$y = x^{2}+ax - a + 1$的图象经过点$A(-1, m)$和点$B(5, m)$，$\therefore$该二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{-1 + 5}{2}=2$，$\therefore-\frac{a}{2}=2$，解得$a = -4$，$\therefore$该二次函数的表达式为$y = x^{2}-4x + 5$.

6.一题多解 (2024湖南长沙雨花期末)某二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式.

答案： 解析 【解法一】一般式：设二次函数的解析式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，把$(-1, 0)$、$(3, 0)$和$(0, -3)$代入，得$\begin{cases}a - b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\\c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -2\\c = -3\end{cases}$，
$\therefore$这个二次函数的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$.
【解法二】交点式：$\because$二次函数图象经过点$(-1, 0)$和$(3, 0)$，$\therefore$可设二次函数解析式为$y = a(x + 1)(x - 3)(a\neq0)$，把$(0, -3)$代入，得$-3 = a\times1\times(-3)$，解得$a = 1$，$\therefore$二次函数解析式为$y=(x + 1)(x - 3)=x^{2}-2x - 3$.

7.(2024山东烟台期中,10,★★☆)小明在用“描点法”探究二次函数的性质时，绘制了以下表格：
|$x$|$\cdots$|$-1$|$0$|$1$|$2$|$3$|$\cdots$|
|$y$|$\cdots$|$a$|$b$|$-4$|$-3$|$c$|$\cdots$|
已知$a,b,c$中有两个数相同.根据以上信息，小明探究的二次函数表达式可能是 ( )
A.$y = x^{2}-3x - 2$
B.$y=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}x-\frac{9}{2}$
C.$y = 2x^{2}-5x - 1$
D.$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 3$

答案： B   A. 抛物线$y = x^{2}-3x - 2$的对称轴为直线$x = -\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$. B. 抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}x-\frac{9}{2}$的对称轴为直线$x = -\frac{\frac{1}{4}}{2\times\frac{1}{4}}=-\frac{1}{2}$. C. 抛物线$y = 2x^{2}-5x - 1$的对称轴为直线$x = -\frac{-5}{2\times2}=\frac{5}{4}$. D. 抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 3$的对称轴为直线$x = -\frac{-\frac{3}{2}}{2\times\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$. 根据题意，若$a$与$b$相同，则抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1 + 0}{2}=-\frac{1}{2}$，只有 B 选项符合. 若$a$与$c$相同，则抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1 + 3}{2}=1$，没有选项符合. 若$b$与$c$相同，则抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0 + 3}{2}=\frac{3}{2}$，选项 A、D 均符合，但当$x = 2$时，$y = 2^{2}-3\times2 - 2=-4\neq -3$，故 A 不符合，当$x = 2$时，$y=\frac{1}{2}\times2^{2}-\frac{3}{2}\times2 - 3=-4\neq -3$，故 D 不符合. 故选 B.

8.(2023吉林长春二道模拟,14,★★☆)如图，已知平面直角坐标系中的四个点：$A(0,2)$，$B(1,0)$，$C(3,1)$，$D(2,3)$.二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象经过其中三个点，当$a$的值最大时，二次函数的解析式为____________.

答案：  $y=\frac{5}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x + 2$
解析 由题图知，过$A$、$B$、$D$三点的抛物线开口向上，$a＞0$. 过$A$、$B$、$C$三点的抛物线开口向上，$a＞0$. 过$B$、$C$、$D$三点的抛物线开口向下，$a＜0$. 过$A$、$D$、$C$三点的抛物线开口向下，$a＜0$.$\because$过$A$、$B$、$D$三点的抛物线开口小于过$A$、$B$、$C$三点的抛物线开口，$\therefore$过$A$、$B$、$D$三点的抛物线的表达式中，$a$的值最大，把$A$、$B$、$D$三点的坐标代入$y = ax^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}c = 2\\a + b + c = 0\\4a + 2b + c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{5}{2}\\b = -\frac{9}{2}\\c = 2\end{cases}$，故$a$的值最大时，二次函数的解析式为$y=\frac{5}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x + 2$.

9.分类讨论思想 (2024山东淄博淄川期中,15,★★☆)已知点$P(m,n)$为抛物线$y = ax^{2}-4ax + b(a\neq0)$上一动点.当$1\leq m\leq4$时，$n$的取值范围是$1\leq n\leq4$，则抛物线的解析式为__________.

答案：  $y = -\frac{3}{4}x^{2}+3x + 1$或$y=\frac{3}{4}x^{2}-3x + 4$
解析 抛物线$y = ax^{2}-4ax + b$的对称轴为直线$x = -\frac{-4a}{2a}=2$. 分两种情况：①当$a＜0$时，$\because$点$P(m, n)$在抛物线上，当$1\leq m\leq4$时，$n$的取值范围是$1\leq n\leq4$，$\therefore$在$1\leq x\leq4$范围内，当$x = 2$时函数有最大值，为$4$，当$x = 4$时函数有最小值，为$1$，$\therefore\begin{cases}4a - 8a + b = 4\\16a - 16a + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{3}{4}\\b = 1\end{cases}$，此时抛物线的解析式为$y = -\frac{3}{4}x^{2}+3x + 1$. ②当$a＞0$时，$\because$点$P(m, n)$在抛物线上，当$1\leq m\leq4$时，$n$的取值范围是$1\leq n\leq4$，$\therefore$在$1\leq x\leq4$范围内，当$x = 2$时函数有最小值，为$1$，当$x = 4$时函数有最大值，为$4$，$\therefore\begin{cases}4a - 8a + b = 1\\16a - 16a + b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{3}{4}\\b = 4\end{cases}$，此时抛物线的解析式为$y=\frac{3}{4}x^{2}-3x + 4$. 综上可知，抛物线的解析式为$y = -\frac{3}{4}x^{2}+3x + 1$或$y=\frac{3}{4}x^{2}-3x + 4$.