《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

23.情境题·科学研究 (2024湖南长沙开福青竹湖湘一外国语学校二模)(8分)某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机,这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分.活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台,当发射平台的高度变化时,航模飞机的飞行轨迹上下平移.如图所示,以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点,以水平安全线为x轴,过A点垂直于水平安全线的直线为y轴,建立平面直角坐标系.
通过实验,在A处发射飞机,收集到飞机相对于出发点飞行的水平距离x(单位:m)与飞行高度y(单位:m)的部分对应数值如表.
| 飞行水平距离x/m | 0 | 20 | 30 | 50 | 80 | … |
| 飞行高度y/m | 0 | 40 | 54 | 70 | 64 | … |
根据信息,解决下列问题.(M9201005)
(1)当活动小组在A处发射飞机时,求飞机落到水平安全线上时飞行的水平距离;
(2)在水平安全线上设置回收区域MN,AM = 125 m,MN = 5 m,若飞机能落到回收区域MN内(不包括端点M,N),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.

答案： 解析：\n（1）设$y = ax^{2}+bx(a \neq 0)$，将$(20,40)$和$(30,54)$代入$y = ax^{2}+bx$，得$\begin{cases}400a + 20b = 40\\900a + 30b = 54\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{50}\\b = \frac{12}{5}\end{cases}$，$\therefore y = -\frac{1}{50}x^{2}+\frac{12}{5}x$.令$y = 0$，则$-\frac{1}{50}x^{2}+\frac{12}{5}x = 0$，解得$x = 120$或$x = 0$（舍去）.答：飞机落到水平安全线上时飞行的水平距离为$120\ m$.\n（2）设$y = -\frac{1}{50}x^{2}+\frac{12}{5}x + c$，$\because 125 + 5 = 130$，$\therefore 125 \lt x \lt 130$，将$(125,0)$代入$y = -\frac{1}{50}x^{2}+\frac{12}{5}x + c$，解得$c = 12.5$.将$(130,0)$代入$y = -\frac{1}{50}x^{2}+\frac{12}{5}x + c$，解得$c = 26$，$\therefore 12.5 \lt c \lt 26$，即发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于$12.5\ m$且小于$26\ m$.

24.(2022湖南岳阳中考)(12分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线$F_{1}:y = x^{2}+bx + c$经过点A(-3,0)和点B(1,0).
(1)求抛物线$F_{1}$的解析式.
(2)如图2,作抛物线$F_{2}$,使它与抛物线$F_{1}$关于原点O成中心对称,请直接写出抛物线$F_{2}$的解析式.
(3)如图3,将(2)中抛物线$F_{2}$向上平移2个单位,得到抛物线$F_{3}$,抛物线$F_{1}$与抛物线$F_{3}$相交于C,D两点(点C在点D的左侧).
①求点C和点D的坐标.
②若点M,N分别为抛物线$F_{1}$和抛物线$F_{3}$上C,D之间的动点(点M,N与点C,D均不重合),试求四边形CMDN面积的最大值.

答案： 解析：\n（1）将$(-3,0)$和$(1,0)$代入$y = x^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}9 - 3b + c = 0\\1 + b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = -3\end{cases}$，$\therefore y = x^{2}+2x - 3$.\n（2）$y = -(x - 1)^{2}+4$（或$y = -x^{2}+2x + 3$）.\n详解：$\because y = x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，$\therefore$抛物线$F_{1}$的顶点坐标为$(-1,-4)$.$\because$点$(-1,-4)$关于原点对称的点为$(1,4)$，$\therefore$抛物线$F_{2}$的解析式为$y = -(x - 1)^{2}+4=-x^{2}+2x + 3$.\n（3）由题意可得抛物线$F_{3}$的解析式为$y = -(x - 1)^{2}+6=-x^{2}+2x + 5$.\n①联立得$\begin{cases}y = -x^{2}+2x + 5\\y = x^{2}+2x - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 5\end{cases}$或$\begin{cases}x = -2\\y = -3\end{cases}$，$\therefore C(-2,-3)$，$D(2,5)$.\n②连接$CD$，设直线$CD$的解析式为$y = kx + b(k \neq 0)$，$\therefore \begin{cases}-2k + b = -3\\2k + b = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = 1\end{cases}$，$\therefore$直线$CD$的解析式为$y = 2x + 1$，过点$M$作$MF// y$轴交$CD$于点$F$，过点$N$作$NE// y$轴交$CD$于点$E$，$x_{D}-x_{C}=4$.$\because S_{四边形CMDN}=S_{\triangle CDN}+S_{\triangle CDM}=\frac{1}{2}\times4\times(MF + NE)=2(MF + NE)$，$\therefore$当$MF + NE$的值最大时，四边形$CMDN$的面积最大.设$M(m,m^{2}+2m - 3)$，$N(n,-n^{2}+2n + 5)$，则$F(m,2m + 1)$，$E(n,2n + 1)$，$\therefore MF = 2m + 1-(m^{2}+2m - 3)=-m^{2}+4$，$NE = -n^{2}+2n + 5-(2n + 1)=-n^{2}+4$，$\because -2 \lt m \lt 2$，$-2 \lt n \lt 2$，$\therefore$当$m = 0$时，$MF$有最大值，为$4$，当$n = 0$时，$NE$有最大值，为$4$，$\therefore$四边形$CMDN$面积的最大值为$2\times(4 + 4)=16$.