《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

5.（2024湖南邵阳武冈模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE.
(1) 求证：AE是⊙O的切线；
(2) 若AE = 4 cm，CD = 6 cm，求⊙O的半径.

答案：
解析\n（1）证明：如图，连接$OA$，因为$OA = OD$，所以$\angle ODA=\angle OAD$，因为$DA$平分$\angle BDE$，所以$\angle ODA=\angle EDA$，所以$\angle OAD=\angle EDA$，所以$EC// OA$。因为$AE\perp CE$，所以$OA\perp AE$，因为$OA$是$\odot O$的半径，所以$AE$是$\odot O$的切线。\n（2）如图，过点$O$作$OF\perp CD$，垂足为点$F$，因为$\angle OAE=\angle AED=\angle OFD = 90^{\circ}$，所以四边形$AOFE$是矩形，所以$OF = AE = 4\mathrm{cm}$，因为$OF\perp CD$，所以$DF=\frac{1}{2}CD = 3\mathrm{cm}$，在$Rt\triangle ODF$中，$OD=\sqrt{OF^{2}+DF^{2}} = 5\mathrm{cm}$，即$\odot O$的半径为$5\mathrm{cm}$。

6. 如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC = BC，2AC = OB.
(1) 求证：AB是⊙O的切线；
(2) 若∠ACD = 45°，OC = 2，求∠ADC的度数及弦CD的长.

答案：
解析\n（1）证明：如图，连接$OA$，因为$OC = BC$，$2AC = OB$，$OA = OC$，所以$OC = BC = AC = OA$，所以$\triangle ACO$是等边三角形，所以$\angle O=\angle OCA=\angle OAC = 60^{\circ}$。因为$AC = CB$，所以$\angle CAB=\angle B$。因为$\angle OCA$是$\triangle ACB$的外角，所以$\angle OCA=\angle CAB+\angle B = 2\angle B$，所以$\angle B=\angle CAB = 30^{\circ}$，所以$\angle OAB=\angle CAB+\angle OAC = 30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$，所以$OA\perp AB$，因为$OA$是$\odot O$的半径，所以$AB$是$\odot O$的切线。\n（2）如图，过$A$点作$AE\perp CD$于点$E$，因为$\angle O = 60^{\circ}$，所以$\angle ADC=\frac{1}{2}\angle O = 30^{\circ}$。因为$\angle ACD = 45^{\circ}$，$AC = OC = 2$，所以$AE = CE=\sqrt{2}$，所以$AD = 2AE = 2\sqrt{2}$，所以$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{6}$，所以$CD = DE + CE=\sqrt{6}+\sqrt{2}$。

7.（2024陕西渭南华阴期末）如图，BD是∠ABC的平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E，F.（M9202005）
(1) 求证：BC是⊙O的切线；
(2) 连接EM，若EM//BC，求∠ABC的度数.

答案：
解析\n（1）证明：如图，连接$OM$，过点$O$作$ON\perp BC$于点$N$，因为点$O$为$\odot O$的圆心，$AB$为$\odot O$的切线，切点为$M$，所以$OM$为$\odot O$的半径，且$OM\perp AB$。因为$BD$为$\angle ABC$的平分线，点$O$为$BD$上一点，且$OM\perp AB$，$ON\perp BC$，所以$ON = OM$，即$ON$为$\odot O$的半径，所以$BC$是$\odot O$的切线。\n（2）设$\angle ABE=\alpha$，因为$BD$为$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABE=\angle CBE=\alpha$，$\angle ABC = 2\angle ABE = 2\alpha$，因为$EM// BC$，所以$\angle MEB=\angle CBE=\alpha$，因为$OE = OM$，所以$\angle OME=\angle MEB=\alpha$，所以$\angle MOB=\angle MEB+\angle OME = 2\alpha$，因为$OM\perp AB$，所以$\angle MOB+\angle MBE = 90^{\circ}$，即$2\alpha+\alpha = 90^{\circ}$，所以$\alpha = 30^{\circ}$，所以$\angle ABC = 2\alpha = 60^{\circ}$。

8.（2023湖南长沙青竹湖湘一外国语学校第一次月考）如图，点O在正方形ABCD的对角线上，以点O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M.（M9202005）
(1) 求证：BC与⊙O相切；
(2) 若⊙O的半径为$\sqrt{2}$，求正方形的边长.

答案：
解析\n（1）证明：如图，过点$O$作$OH\perp BC$于点$H$，因为四边形$ABCD$是正方形，所以$CA$为$\angle BCD$的平分线，因为$CD$是$\odot O$的切线，所以$OM\perp CD$，所以$OM = OH$，因为$OM$为$\odot O$的半径，所以$OH$为$\odot O$的半径，所以$BC$与$\odot O$相切。\n（2）因为$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$，所以$OA = OM=\sqrt{2}$，易知四边形$OHCM$是正方形，所以$CM = OM=\sqrt{2}$，所以$OC=\sqrt{CM^{2}+OM^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}} = 2$，所以$AC = OA + OC=\sqrt{2}+2$，因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC$，$\angle B = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ABC$中，$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=2AB^{2}$，即$AC=\sqrt{2}AB$，所以$\sqrt{2}AB=\sqrt{2}+2$，解得$AB=\sqrt{2}+1$，故正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{2}+1$。