《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

1.(2024北京期中)如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,∠ABC = 70°,则∠BAC = ( )

A.50°
B.40°
C.30°
D.20°

答案： D

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°．
∵∠ABC = 70°，
∴∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - 70° = 20°．故选D．

2.(2024湖南邵阳模拟)如图,AB为⊙O的直径,∠ABC = 36°,则∠CDB = (M9202002) ( )

A.36°
B.72°
C.64°
D.54°

答案： D

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠CAB + ∠ABC = 90°，
∵∠ABC = 36°，
∴∠CAB = 54°，
∴∠CDB = ∠CAB = 54°，故选D．

3.(2024湖南衡阳模拟)如图,AB是⊙O的直径,弦CD//AB,若∠ACD = 26°,则∠ABC = ______°.

答案：   64
解析

∵CD//AB，
∴∠CAB = ∠ACD = 26°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠ABC = 90° - ∠CAB = 90° - 26° = 64°．

4.(2022山东日照中考)一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作如图所示的测量,测得AB = 12 cm,BC = 5 cm,则圆形镜面的半径为________.(M9202002)

答案：   6.5 cm
解析 连接AC，
∵∠ABC = 90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{12^{2}+5^{2}}$ = 13(cm)，
∴圆形镜面的半径为6.5 cm．

5.(2024湖南师大附中芙蓉中学月考)如图,AB是⊙O的直径,弦AC = 3 cm,BC = 4 cm,CD⊥AB,垂足为点D,求CD的长.

答案： 解析

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°，
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5(cm)．
∵△ABC的面积 = $\frac{1}{2}$AB·CD = $\frac{1}{2}$AC·BC，
∴CD = $\frac{3×4}{5}$ = $\frac{12}{5}$(cm)．

6.(2024湖南娄底月考)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠B = 135°,则∠D的度数为 ( )

A.55°
B.45°
C.35°
D.25°

答案： B

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B = 135°，
∴∠D = 180° - 135° = 45°，故选B．

7.一题多解(2024湖南长沙天心湘郡培粹中学月考)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠ABD = 20°,则∠BCD的度数是 ( )

A.90°
B.100°
C.110°
D.120°

答案： C 【解法一】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°，
∵∠ABD = 20°，
∴∠A = 70°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A + ∠BCD = 180°，
∴∠BCD = 110°，选C．
【解法二】连接OD，
∵∠ABD = 20°，
∴∠AOD = 40°，
∵OA = OD，
∴∠OAD = ∠ODA = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠AOD) = 70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠OAD + ∠BCD = 180°，
∴∠BCD = 110°，故选C．

8.教材变式·P55T3 如图,四边形ABCD内接于⊙O,若它的一个外角∠DCE = 122°,则另一个外角∠DAF = _______.

答案：   58°
解析

∵∠DCE = 122°，
∴∠BCD = 180° - 122° = 58°．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD = 180° - ∠BCD = 180° - 58° = 122°，
∴∠DAF = 180° - ∠BAD = 180° - 122° = 58°．

9.(2024湖南益阳大通湖二模)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠ADC = 2∠B,点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点.(M9202002)
(1)求∠B的度数;
(2)求证:四边形AOCD是菱形.

答案： 解析
(1)
∵∠ADC = 2∠B，∠ADC + ∠B = 180°，
∴∠B = 60°．
(2)证明：连接OD(图略)，
∵点D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠AOD = ∠COD，
∵∠B = 60°，
∴∠AOC = 120°，
∴∠AOD = ∠COD = 60°，
∵AO = DO = CO，
∴△AOD，△COD为等边三角形，
∴AO = CO = AD = CD，
∴四边形AOCD为菱形．