《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

1.（2024 湖南长沙长郡教育集团期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线$y = ax^{2}+bx - 4$过点$(3,-4)$，与$x$轴相交于$A$，$B$两点，与$y$轴相交于$C$点，点$A$的坐标为$(-1,0)$.
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点$P$是直线$BC$下方抛物线上一动点，过点$P$作$y$轴平行线交直线$BC$于点$Q$，求线段$PQ$长度的最大值及此时点$P$的坐标.

答案：
(1) 把$(3, -4)$，$(-1, 0)$代入$y = ax^{2}+bx - 4$，得$\begin{cases}9a + 3b - 4 = -4\\a - b - 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -3\end{cases}$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2}-3x - 4$，对称轴为直线$x =-\frac{-3}{2\times1}=\frac{3}{2}$。
(2)$\because$抛物线对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，点$A$的坐标为$(-1, 0)$，$\therefore$点$B(4, 0)$。
当$x = 0$时，$y = x^{2}-3x - 4 = -4$，$\therefore$点$C(0, -4)$。
设直线$BC$的解析式为$y = kx - 4(k\neq0)$，将$(4, 0)$代入，得$4k - 4 = 0$，解得$k = 1$。
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y = x - 4$。
设点$P(x,x^{2}-3x - 4)(0\lt x\lt4)$，则点$Q(x,x - 4)$。
$\therefore PQ=x - 4-(x^{2}-3x - 4)=-(x - 2)^{2}+4$。
$\therefore$当$x = 2$时，$PQ$的长度有最大值，为$4$。
当$x = 2$时，$y = x^{2}-3x - 4 = -6$，$\therefore P(2, -6)$。

2.（2024 湖南益阳沅江一模）如图，已知抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$与$x$轴交于$A(-1,0)$、$B(3,0)$两点，与$y$轴交于点$C$，连接$BC$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点$P$为线段$BC$上的动点（不与点$B$、$C$重合），$PM// y$轴，且$PM$交抛物线于点$M$，交$x$轴于点$N$，当$\triangle BCM$的面积最大时，求点$P$的坐标.

答案：
(1)$\because$抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$与$x$轴交于$A(-1, 0)$、$B(3, 0)$两点，$\therefore\begin{cases}a - b + 3 = 0\\9a + 3b + 3 = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = -1\\b = 2\end{cases}$，$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
(2) 令$x = 0$，得$y = 3$，$\therefore$点$C(0, 3)$。
设点$M$的坐标为$(a,-a^{2}+2a + 3)$，结合图象可知$OC = 3$，$OB = 3$，$ON = a$，$MN=-a^{2}+2a + 3$，$BN = 3 - a$。
$\therefore S_{\triangle BCM}=S_{梯形OCMN}+S_{\triangle MNB}-S_{\triangle COB}$
$=\frac{1}{2}(OC + MN)\cdot ON+\frac{1}{2}MN\cdot NB-\frac{1}{2}OC\cdot OB$
$=\frac{1}{2}[3+(-a^{2}+2a + 3)]a+\frac{1}{2}(-a^{2}+2a + 3)(3 - a)-\frac{1}{2}\times3\times3=-\frac{3}{2}a^{2}+\frac{9}{2}a=-\frac{3}{2}(a-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$。
$\because-\frac{3}{2}\lt0$，$\therefore$当$a=\frac{3}{2}$时，$S_{\triangle BCM}$有最大值，此时$ON = a=\frac{3}{2}$，$BN = 3 - a=\frac{3}{2}$。
$\because OC = OB = 3$，$\angle COB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle PBN = 45^{\circ}$，$\therefore PN = BN=\frac{3}{2}$，$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$。

3.（2024 湖南娄底双峰模拟）如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与直线$y = x + 1$相交于$A(-1,0)$，$B(4,m)$两点，且抛物线经过点$C(5,0)$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点$P$是抛物线在第四象限内的一个动点，过点$P$作直线$PD\perp x$轴于点$D$，交直线$AB$于点$E$，当$PE = 2DE$时，求点$P$的坐标；
(3)若抛物线上存在点$T$，使得$\triangle ABT$是以$AB$为直角边的直角三角形，直接写出点$T$的坐标.

答案：
(1)$\because$点$B(4, m)$在直线$y = x + 1$上，$\therefore m = 4 + 1 = 5$，$\therefore$点$B(4, 5)$。
把$(-1, 0)$、$(4, 5)$、$(5, 0)$代入$y = ax^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}a - b + c = 0\\16a + 4b + c = 5\\25a + 5b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 4\\c = 5\end{cases}$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}+4x + 5$。
(2) 设点$P(t,-t^{2}+4t + 5)$，则点$E(t,t + 1)$，点$D(t,0)$。
$\therefore PE=(t + 1)-(-t^{2}+4t + 5)=t^{2}-3t - 4$，$DE=t + 1$。
$\because PE = 2DE$，$\therefore t^{2}-3t - 4 = 2(t + 1)$，解得$t=-1$或$t = 6$。
当$t=-1$时，点$P$不在第四象限，舍去，当$t = 6$时，$-t^{2}+4t + 5=-7$，$\therefore$点$P(6, -7)$。
(3) 点$T$的坐标为$(1, 8)$或$(6, -7)$。
详解：设点$T(m,-m^{2}+4m + 5)$。
$\because$点$A(-1, 0)$，点$B(4, 5)$，$\therefore AB^{2}=(-1 - 4)^{2}+(0 - 5)^{2}=50$，$AT^{2}=(-1 - m)^{2}+(m^{2}-4m - 5)^{2}$，$BT^{2}=(4 - m)^{2}+(m^{2}-4m)^{2}$。
$\because\triangle ABT$是以$AB$为直角边的直角三角形，
$\therefore AB^{2}+BT^{2}=AT^{2}$或$AB^{2}+AT^{2}=BT^{2}$。
$\therefore 50+(4 - m)^{2}+(m^{2}-4m)^{2}=(-1 - m)^{2}+(m^{2}-4m - 5)^{2}$或$50+(-1 - m)^{2}+(m^{2}-4m - 5)^{2}=(4 - m)^{2}+(m^{2}-4m)^{2}$，解得$m = 1$或$m = 4$（与点$B$重合，舍去）或$m = 6$或$m=-1$（与点$A$重合，舍去）。
当$m = 1$时，$-m^{2}+4m + 5 = 8$；当$m = 6$时，$-m^{2}+4m + 5=-7$。
$\therefore$点$T$的坐标为$(1, 8)$或$(6, -7)$。