《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

1.(2024湖南衡阳南岳二中期未)已知一扇形的圆心角为100°，半径为9，则该扇形的弧长为 （ ）
A.$\frac{45}{2}\pi$
B.5π
C.8π
D.10π

答案： B 根据扇形的弧长公式，得该扇形的弧长为$\frac{100\pi\times9}{180}=5\pi$，故选 B.

2.(2024上海浦东新区期末)一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧的长与这条弧所在圆的周长的比值为(M9202006) （ ）
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： B 设这条弧所在圆的半径为$r$，则这条弧的长为$\frac{144\pi r}{180}=\frac{4}{5}\pi r$，这条弧所在圆的周长为$2\pi r$，所以所求比值为$\frac{\frac{4}{5}\pi r}{2\pi r}=\frac{2}{5}$，故选 B.

3.(2023湖南益阳赫山一模)一个扇形的圆心角为60°，它的弧长为2π cm，则这个扇形所在圆的周长为________cm.(M9202006)

答案：   $12\pi$
解析 设这个扇形所在圆的半径为$r\ cm$，则$2\pi=\frac{60\pi r}{180}$，解得$r = 6$，$\therefore$这个扇形所在圆的周长为$2\pi\times6=12\pi(cm)$.

4.新独家原创 用一根长为24 cm的细铁丝围成一个半径为6 cm的扇形，则该扇形的圆心角度数约为________.（π≈3）

答案：
  $120^{\circ}$
解析 如图，$\because OA = OB = 6\ cm$，扇形的周长为$24\ cm$，$\therefore\overset{\frown}{AB}$的长为$24 - 2\times6 = 12(cm)$.设$\angle AOB = n^{\circ}$，则$\frac{n\pi\times6}{180}=12$，解得$n\approx120$，则该扇形的圆心角约为$120^{\circ}$.

5.如图，公路弯道标志$R = m$表示圆弧形道路所在圆的半径为m米，某车在标有R = 300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB = ________米.(M9202006)

答案：
 $300$
解析 如图，设弧$AB$所在圆的圆心为$O$，弧$AB$所对的圆心角的度数为$n^{\circ}$，则$100\pi=\frac{n\pi\times300}{180}$，$\therefore n = 60$，即$\angle AOB = 60^{\circ}$，又$\because AO = BO$，$\therefore\triangle AOB$是等边三角形，$\therefore AB = AO = BO = 300$米.

6.教材变式·P82T5 (2024江西赣州兴国期末)如图，$\overset{\frown}{AB}$的半径OA = 4，OC⊥AB于点C，∠AOC = 60°.求$\overset{\frown}{AB}$的长.(M9202006)

答案： 解析 $\because OC\perp AB$，$OA = OB$，$\angle AOC = 60^{\circ}$，$\therefore\angle AOB = 2\angle AOC = 120^{\circ}$，$\because OA = 4$，$\therefore\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120\pi\times4}{180}=\frac{8\pi}{3}$.

7.(2023湖南张家界中考,7,★☆☆)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于(M9202006) （ ）


A.π
B.3π
C.2π
D.2π - $\sqrt{3}$

答案： B $\because\triangle ABC$是等边三角形，$\therefore AB = BC = AC = 3$，$\angle A=\angle B = \angle C = 60^{\circ}$，$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，$\because\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{60\pi\times3}{180}=\pi$，$\therefore$该“莱洛三角形”的周长是$3\pi$.故选 B.

8.情境题·中华优秀传统文化 (2024广东东莞一模,9,★☆☆)抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.抖空竹抽象出来的图形如图所示，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P = 120°，⊙O的半径为6 cm，则图中$\overset{\frown}{CD}$的长为 （ ）

A.π cm
B.2π cm
C.3π cm
D.4π cm

答案： B 连接$OC$，$OD$，$\because AC$，$BD$分别与$\odot O$相切于点$C$，$D$，$\therefore\angle OCP=\angle ODP = 90^{\circ}$，$\therefore\angle COD = 360^{\circ}-\angle OCP-\angle ODP-\angle CPD = 360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，$\therefore\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{60\pi\times6}{180}=2\pi(cm)$.故选 B.

9.跨物理·滑轮 (2022湖南衡阳中考,17,★☆☆)如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm.（结果保留π）(M9202006)

答案：   $4\pi$
解析 由题意得，重物上升的距离是半径为$6\ cm$，圆心角为$120^{\circ}$的扇形的弧长，$\therefore$重物上升的距离为$\frac{120\pi\times6}{180}=4\pi(cm)$.

10.(2024内蒙古呼伦贝尔、兴安盟中考,15,★☆☆)为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如图，$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC约是________米.(π取3.14，计算结果精确到0.1)

答案：   $28.7$
解析 由题意得$\frac{72\pi\cdot OA}{180}-\frac{72\pi\cdot OC}{180}=36$，$\therefore OA - OC=\frac{90}{\pi}\approx28.7$(米)，$\therefore AC = OA - OC = 28.7$米，即公路宽$AC$约是$28.7$米.