《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

1. 如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE//BC交AC于点F，连接CD，且∠BAC = ∠CDE.（M9202005）
(1) 求证：直线BC是⊙O的切线；
(2) 若DF = 8，CF = 6，求BD的长.

答案： 解析\n（1）证明：因为$\angle BAC = \angle CDE$，所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CE}$，因为$AC$是$\odot O$的直径，所以$AC\perp DE$，又因为$DE// BC$，所以$AC\perp BC$，因为$AC$是$\odot O$的直径，所以直线$BC$是$\odot O$的切线。\n（2）因为$AC\perp DE$，$DF = 8$，$CF = 6$，所以$CD=\sqrt{DF^{2}+CF^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$。因为$AC$为$\odot O$的直径，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle BDC = 90^{\circ}=\angle CFD$。因为$DE// BC$，所以$\angle CDF=\angle BCD$，所以$\triangle CDF\sim\triangle BCD$，所以$\frac{DF}{CD}=\frac{CF}{BD}$，即$\frac{8}{10}=\frac{6}{BD}$，解得$BD = 7.5$。

2.（2024湖南娄底娄星二模）如图，在△ABC中，AB = BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB的延长线交⊙O于点F，连接OD，DB.（M9202005）
(1) 求证：DE为⊙O的切线；
(2) 若BE = 1，BF = 2，求AD的长.

答案：
解析\n（1）证明：因为$OA = OD$，$AB = BC$，所以$\angle ADO=\angle OAD=\angle ACB$，所以$OD// BC$。因为$DE\perp BC$，所以$DE\perp OD$，因为$OD$是$\odot O$的半径，所以$DE$是$\odot O$的切线。\n（2）如图，过点$O$作$OH\perp BF$于点$H$，连接$OF$，则$\angle ODE=\angle DEH=\angle OHE = 90^{\circ}$，所以四边形$ODEH$是矩形，所以$OD = EH$，$OH = DE$。因为$OF = OB$，所以$BH = FH=\frac{1}{2}BF = 1$，所以$OB = OD = EH=BE + BH=1 + 1 = 2$，所以$AB = 2OD = 4$，$OH=\sqrt{OB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{3}$，所以$DE = OH=\sqrt{3}$，所以$BD=\sqrt{DE^{2}+BE^{2}} = 2$，所以$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$。

3.（2024湖南株洲模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点O在△ABC的内部，直径AE交线段BC于点D，点P是BC延长线上一点，连接PA，已知∠PAC = ∠ABC.（M9202005）
(1) 求证：直线PA是⊙O的切线；
(2) 若AB = 1，AC = $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，点C为PD的中点，求cos∠APC的值.

答案：
解析\n（1）证明：如图，连接$CE$，因为$\angle PAC=\angle ABC$，所以$\angle E=\angle ABC=\angle PAC$，因为$AE$为$\odot O$的直径，所以$\angle ECA = 90^{\circ}$，所以$\angle E+\angle EAC = 90^{\circ}$，所以$\angle EAC+\angle PAC = 90^{\circ}$，即$\angle EAP = 90^{\circ}$，所以$EA\perp PA$，因为$AE$为$\odot O$的直径，所以$PA$是$\odot O$的切线。\n（2）因为$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，点$C$为$PD$的中点，$\angle EAP = 90^{\circ}$，所以$CD = PC = AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以$\angle PAC=\angle APC$，$PD = 2PC=\sqrt{5}-1$。因为$\angle PAC=\angle ABC$，所以$\angle APC=\angle ABC$，所以$PA = AB = 1$，所以$\cos\angle APC=\frac{PA}{PD}=\frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$。

4. 情境题·中华优秀传统文化 （2024湖南衡阳模拟）辘轳（如图1）是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，史佚是周代初期的史官，说明在周代已经出现了辘轳. 图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，O是AC边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与AB相交于点P，已知CP = CB.（M9202005）
(1) 求证：直线CP是⊙O的切线.
(2) 若∠B = 60°，BC = 3$\sqrt{3}$，求⊙O的半径.
       

答案：
解析\n（1）证明：如图，连接$OP$，因为$OA = OP$，所以$\angle A=\angle APO$。因为$CP = CB$，所以$\angle B=\angle BPC$。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle APO+\angle BPC = 90^{\circ}$，所以$\angle OPC = 180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，所以$OP\perp CP$，因为$OP$为$\odot O$的半径，所以直线$CP$是$\odot O$的切线。\n（2）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，$BC = 3\sqrt{3}$，所以$AC = BC\cdot\tan60^{\circ}=3\sqrt{3}\times\sqrt{3}=9$，$PC = BC = 3\sqrt{3}$。设$\odot O$的半径为$r$，则$OC = AC - OA=9 - r$，在$Rt\triangle OPC$中，$OP^{2}+PC^{2}=OC^{2}$，即$r^{2}+(3\sqrt{3})^{2}=(9 - r)^{2}$，解得$r = 3$，即$\odot O$的半径为$3$。