《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

1.（2023天津河西双水道中学期末）已知一个直角三角形两直角边长度之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为（M9201005）（ ）
A.25 cm²
B.50 cm²
C.100 cm²
D.不确定

答案： B：设这个直角三角形的一条直角边长为$x cm$，面积为$S cm^{2}$，则另一条直角边长为$(20 - x) cm$，$\therefore S=\frac{1}{2}x(20 - x)=-\frac{1}{2}(x - 10)^{2}+50$，$\because-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$当$x = 10$时，$S$取得最大值，为$50$，$\therefore$这个直角三角形的最大面积为$50 cm^{2}$。故选 B。

2.（2024安徽安庆宿松四校联考期中）如图所示的是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，根据需要将它的长缩短
x m，宽增加x m，要想使修改后的花园面积最大，则x的值应为（ ）


A.1
B.1.5
C.2
D.4

答案： C：设修改后的花园面积为$S m^{2}$，则$S=(20 - x)(16 + x)=-x^{2}+4x + 320=-(x - 2)^{2}+324$，$\therefore$当$x = 2$时，$S$取得最大值，故选 C。

3.新考法（2023山西运城夏县月考）用一根长为80 cm的铁丝围成一个面积为a cm²的矩形，小亮说：“a的值可能是200.”小倩说：“a的值可能是300.”小强说：“a的值可能是400.”小英说：“a的值可能是500.”其中说法错误的是（ ）
A.小亮
B.小倩
C.小强
D.小英

答案： D：设矩形的一边长为$x cm$，则其邻边长为$\frac{80 - 2x}{2}=(40 - x) cm$，根据题意得$a=x(40 - x)=-x^{2}+40x=-(x - 20)^{2}+400$，$\therefore a$的最大值为$400$，$\therefore$小英的说法错误。故选 D。

4.（2024湖南长沙浏阳期中）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC + BD = 10，当AC = ________时，四边形ABCD的面积最大.

答案： 5
解析：设$AC = x$，四边形$ABCD$的面积为$S$，则$BD = 10 - x$，$\therefore S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}x(10 - x)=-\frac{1}{2}x^{2}+5x$，$\because-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore S$有最大值，当$x =-\frac{5}{2\times(-\frac{1}{2})}=5$时，四边形$ABCD$的面积最大，即当$AC = 5$时，四边形$ABCD$的面积最大。

5.教材变式·P32T4（2024甘肃定西期中）在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A→B，B→C，C→D，D→A的方向在正方形ABCD的边上由一个顶点向另一个顶点运动，各点同时出发，以1 cm/s的速度匀速运动.写出四边形EFGH的面积S（cm²）关于运动时间t（s）的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少.（M9201005）

答案： 解析：由题意知$AE = t cm$，$\triangle AEH$、$\triangle BFE$、$\triangle CGF$、$\triangle DHG$全等，则$EB=(6 - t) cm$，$\therefore S = 6^{2}-\frac{1}{2}t(6 - t)\times4=2t^{2}-12t + 36=2(t - 3)^{2}+18$。$\because0\leq t\leq6$，$2＞0$，$\therefore$当$t = 3$时，$S$取得最小值，为$18$。故运动$3 s$时，四边形$EFGH$的面积最小，最小值是$18 cm^{2}$。

6.情境题·劳动生产（2024湖南长沙明德教育集团期中）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某中学准备用16米长的篱笆（如图中虚线部分）围成两面靠墙的矩形苗圃（围墙足够长）.设矩形一边长为x（米），面积为y（平方米）.（M9201005）
（1）求y关于x的函数解析式.
（2）当矩形苗圃面积为60平方米时，求矩形的边长.
（3）当x为何值时，所围苗圃面积最大？最大值是多少？

答案： 解析：
(1)由题意可得$y=x(16 - x)=-x^{2}+16x$，故$y$关于$x$的函数解析式为$y=-x^{2}+16x$。
(2)当$y = 60$时，$-x^{2}+16x = 60$，解得$x_{1}=6$，$x_{2}=10$，$\therefore$矩形的宽为$6$米，长为$10$米。
(3)由
(1)知$y=-x^{2}+16x=-(x - 8)^{2}+64$，$\because-1＜0$，$\therefore$当$x = 8$时，$y$取得最大值，最大值为$64$，$\therefore$当$x = 8$时，所围苗圃的面积最大，最大面积是$64$平方米。