《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

7.情境题·数学文化（2024湖南衡阳五科联赛，8，★★☆）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙.假设三角形的三边长分别为a，b，c，记p = $\frac{a + b + c}{2}$，则其面积S = $\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.这个公式也被称为海伦 - 秦九韶公式.若p = 5，c = 4，则此三角形面积的最大值为（M9201005）（ ）
A.$\sqrt{5}$
B.4
C.2$\sqrt{5}$
D.5

答案： C：$\because p=\frac{a + b + c}{2}$，$p = 5$，$c = 4$，$\therefore5=\frac{a + b + 4}{2}$，$\therefore a + b = 6$，$\therefore a = 6 - b$，$\therefore S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}=\sqrt{5(5 - a)(5 - b)(5 - 4)}=\sqrt{5(5 - a)(5 - b)}=\sqrt{5(b - 1)(5 - b)}=\sqrt{-5b^{2}+30b - 25}=\sqrt{-5(b - 3)^{2}+20}$，当$b = 3$时，$S$有最大值，为$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。故选 C。

8.新考向·项目式学习试题（2024湖南永州零陵、冷水滩期末，23，★★☆）湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富.下面是一果农所遇到的问题，请你阅读下面的材料帮忙解决果农遇到的问题.（M9201005）
|素材一|在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的|
|素材二|运输时一般采用长方体包装盒|
（1）求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率.
（2）为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为80 cm的正方形纸板（如图），将四角各裁掉一个小正方形，折成无盖长方体纸盒.折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的小正方形的边长.

答案： 解析：
(1)设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为$x$，根据题意，得$50(1 + x)^{2}=72$，解得$x_{1}=0.2 = 20\%$，$x_{2}=-2.2$（不符合题意，舍去）。答：纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为$20\%$。
(2)折成的长方体盒子侧面积有最大值。设剪掉的小正方形边长为$m cm$，盒子的侧面积为$y cm^{2}$，根据题意，得$y = 4m(80 - 2m)=-8m^{2}+320m=-8(m - 20)^{2}+3200$，$\therefore$当$m = 20$时，$y$有最大值，此时剪掉的小正方形边长为$20 cm$。

9.（2022湖南湘潭中考，23，★★☆）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12 m）和21 m长的篱笆，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地（如图）.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆，且不浪费篱笆），请根据设计方案回答下列问题.
（1）方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE = 1 m的矩形水池，且需保证总种植面积为32 m²，试确定CG、DG的长.
（2）方案二：如图2，全部利用围墙的长度，使围成的两块矩形总种植面积最大，则BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
      

答案： 解析：
(1)由题意得$AD=(21 - 12)\div3 = 3(m)$，$\therefore$Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积和为$12\times3 = 36(m^{2})$，设水池的长为$a m$，即$DG = a m$，则水池的面积为$a\times1=a(m^{2})$，$\therefore36 - a = 32$，解得$a = 4$，$\therefore DG = 4 m$，$\therefore CG = CD - DG = 12 - 4 = 8(m)$，故$CG$的长为$8 m$，$DG$的长为$4 m$。
(2)设$BC$的长为$x m$，则$CD$的长为$(21 - 3x) m$，$\therefore$总种植面积为$(21 - 3x)x=-3(x^{2}-7x)=\left[-3\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}+\frac{147}{4}\right]m^{2}$，$\because-3＜0$，$\therefore$当$x=\frac{7}{2}$时，总种植面积有最大值，为$\frac{147}{4}m^{2}$，即$BC$的长为$\frac{7}{2}m$时，总种植面积最大，最大面积为$\frac{147}{4}m^{2}$。