《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

1.下列直线中,一定是圆的切线的是 （ ）
A.过半径外端的直线
B.与圆心的距离等于该圆半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.与圆有公共点的直线

答案： B 过半径外端的直线不一定垂直于半径，垂直于圆的半径的直线不一定经过半径的外端，与圆有公共点的直线与圆相交或相切. 故选 B.

2.新独家原创 如图,A,B是⊙O上的点,P是OB延长线上一点,若PA = 8,PB = 4,OB = 6,则PA与⊙O的位置关系是 （ ）

A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定

答案： A $\because OB = 6$，$PB = 4$，$\therefore OP = 10$. 又 $\because PA = 8$，$OA = OB = 6$，$\therefore OA^{2}+AP^{2}=OP^{2}$，$\therefore\angle OAP = 90^{\circ}$，即 $OA\perp AP$，又 $\because OA$ 是 $\odot O$ 的半径，$\therefore PA$ 与 $\odot O$ 相切. 故选 A.

3.教材变式·P67T2 如图,在△OAB中,OA = OB = 5,AB = 8,⊙O的半径为3.求证:AB是⊙O的切线.(M9202005)

答案： 证明 过 $O$ 点作 $OC\perp AB$ 于点 $C$，$\because OA = OB$，$AB = 8$，$\therefore AC=\frac{1}{2}AB = 4$，在 $Rt\triangle OAC$ 中，$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，$\because\odot O$ 的半径为 $3$，$\therefore OC$ 为 $\odot O$ 的半径，$\therefore AB$ 是 $\odot O$ 的切线.

4.(2023四川攀枝花中考)如图,AB为⊙O的直径,如果圆上的点D恰使∠ADC = ∠B,求证:直线CD与⊙O相切.(M9202005)

答案： 证明 连接 $OD$，$\because OA = OD$，$\therefore\angle A=\angle ODA$，$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore\angle ADB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，$\because\angle ADC=\angle B$，$\therefore\angle ODA+\angle ADC=\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，即 $\angle CDO = 90^{\circ}$，$\therefore CD\perp OD$. $\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径，$\therefore$ 直线 $CD$ 与 $\odot O$ 相切.

5.(2023河北邢台一模,14,★★☆)如图,已知AB是半圆O的直径,点C,D将半圆分成相等的三段弧,点M在AB的延长线上,连接MD.对于下列两个结论,判断正确的是 （ ）
结论I:若∠OMD = 30°,则MD为半圆O的切线;
结论Ⅱ:连接AC,CD,则∠ACD = 130°.

A.Ⅰ和Ⅱ都对
B.Ⅰ对、Ⅱ错
C.Ⅰ错、Ⅱ对
D.Ⅰ和Ⅱ都错

答案：
B 如图，连接 $OD$，$OC$，$\because$ 点 $C$，$D$ 将半圆分成相等的三段弧，$\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{DB}$，$\therefore\angle AOC=\angle COD=\angle DOB=\frac{1}{3}\times180^{\circ}=60^{\circ}$. 若 $\angle OMD = 30^{\circ}$，则 $\angle ODM = 90^{\circ}$，$\therefore OD\perp DM$，$\therefore MD$ 为半圆 $O$ 的切线，故结论 Ⅰ 对. $\because OD$，$OC$，$OA$ 是半圆的半径，$\angle AOC=\angle COD = 60^{\circ}$，$\therefore\triangle AOC$，$\triangle DOC$ 是等边三角形，$\therefore\angle ACO=\angle DCO = 60^{\circ}$，$\therefore\angle ACD = 120^{\circ}$，故结论 Ⅱ 错，故选 B.

6.(2023湖南常德桃源月考,16,★★☆)如图,点P是⊙O上一点,AB是一条弦,点C是⌢APB上一点,与点D关于AB对称,AD交⊙O于点E,CE与AB交于点F,且BD//CE.给出下面四个结论:①CD平分∠BCE;②BE = BD;③AE² = AF·AB;④BD为⊙O的切线.其中所有正确结论的序号是_________.(M9202005)

答案：
 ①②④
解析 $\because$ 点 $C$ 与点 $D$ 关于 $AB$ 对称，$\therefore AB$ 是 $CD$ 的垂直平分线，$\therefore AD = AC$，$BD = BC$，$\therefore\angle BCD=\angle BDC$，$\because BD// CE$，$\therefore\angle BDC=\angle DCE$，$\therefore\angle DCE=\angle BCD$，$\therefore CD$ 平分 $\angle BCE$，故①正确. $\because$ 四边形 $ACBE$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，$\therefore\angle ACB+\angle AEB = 180^{\circ}$，$\because\angle AEB+\angle DEB = 180^{\circ}$，$\therefore\angle DEB=\angle ACB$，$\because AD = AC$，$BD = BC$，$AB = AB$，$\therefore\triangle ADB\cong\triangle ACB(SSS)$，$\therefore\angle ADB=\angle ACB$，$\therefore\angle DEB=\angle ADB$，$\therefore BD = BE$，故②正确. 对于③，若 $AE^{2}=AF\cdot AB$，则 $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AE}$，再结合 $\angle BAE=\angle FAE$，可得 $\triangle AFE\backsim\triangle AEB$，但是，$\because AC\neq AE$，$\therefore\overset{\frown}{AC}\neq\overset{\frown}{AE}$，$\therefore\angle AEF\neq\angle ABE$，$\therefore\triangle AEF$ 与 $\triangle ABE$ 不相似，故③不正确. 如图，连接 $OB$，交 $EC$ 于点 $H$，$\because BD = BE$，$BD = BC$，$\therefore BE = BC$，$\therefore\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore OB\perp CE$，$\therefore\angle OHE = 90^{\circ}$，$\because BD// CE$，$\therefore\angle OBD=\angle OHE = 90^{\circ}$，$\because OB$ 是 $\odot O$ 的半径，$\therefore BD$ 为 $\odot O$ 的切线，故④正确. 综上可知，所有正确结论的序号是①②④.

7.(2023湖南常德中考,24,★★☆)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB是直径,C是⌢BD的中点,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.(M9202005)
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若BC = 6,AC = 8,求CE,DE的长.

答案： 解析
（1）证明：连接 $OC$，$\because OA = OC$，$\therefore\angle OAC=\angle OCA$，$\because$ 点 $C$ 是 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点，$\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore\angle OAC=\angle CAE$，$\therefore\angle CAE=\angle OCA$，$\therefore OC// AE$，$\because AE\perp CE$，$\therefore OC\perp CE$，$\because OC$ 是 $\odot O$ 的半径，$\therefore CE$ 是 $\odot O$ 的切线.
（2）$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore\angle ACB = 90^{\circ}$，$\because BC = 6$，$AC = 8$，$\therefore AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}} = 10$，$\because\angle CAE=\angle BAC$，$\angle AEC=\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle AEC\backsim\triangle ACB$，$\therefore\frac{EC}{CB}=\frac{AC}{AB}$，即 $\frac{EC}{6}=\frac{8}{10}$，解得 $EC=\frac{24}{5}$.$\because\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore CD = BC = 6$，$\therefore DE=\sqrt{CD^{2}-CE^{2}}=\sqrt{6^{2}-\left(\frac{24}{5}\right)^{2}}=\frac{18}{5}$.