《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

11.（2023 湖南衡阳中考，18，★★☆）用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置. 要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________。(M9202007)

答案：  $10$
解析：正五边形的每一个内角为 $\frac{1}{5}\times180^{\circ}\times(5 - 2)=108^{\circ}$，$\therefore \angle O = 180^{\circ}-(180^{\circ}-108^{\circ})\times2=36^{\circ}$，$\therefore$ 需要正五边形的个数是 $360^{\circ}\div36^{\circ}=10$.

12.跨艺术·园林设计（2024 江苏苏州中考，14，★★☆）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素. 如图所示的是一个花瓣造型的花窗示意图，该花窗由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB = 2$\sqrt{3}$，则花窗的周长（图中实线部分的长度）= ________。（结果保留π）(M9202007)

答案：
 $8\pi$
解析：如图，过点 $C$ 作 $CM\perp AB$ 于点 $M$，则 $AM = BM=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$，
$\because$ 六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点 $O$，$\therefore \angle AOB = 60^{\circ}$，$\because OA = OB$，$\therefore \triangle AOB$ 是等边三角形，$\because$ 点 $C$ 是等边 $\triangle AOB$ 的内心，$\therefore \angle CAB=\angle CBA=\frac{1}{2}\times60^{\circ}=30^{\circ}$，$\angle ACB = 2\angle AOB = 120^{\circ}$，在 $Rt\triangle ACM$ 中，$AM=\sqrt{3}$，$\angle CAM = 30^{\circ}$，$\therefore AC=\frac{AM}{\cos30^{\circ}}=2$，$\because \overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{120\pi\times2}{180}=\frac{4\pi}{3}$，$\therefore$ 花窗的周长为 $\frac{4\pi}{3}\times6 = 8\pi$.

13.情境题·中华优秀传统文化（2024 甘肃武威中考，20，★★☆）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、白、黑彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧. 如图1所示的是彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.
如图2，已知⊙O和圆上一点M. 作法如下：
①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分。(M9202007)
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2 cm，则△ABC的周长为________cm。

答案：
解析：
(1) 如图，点 $A$，$B$，$C$ 即为所求.
(2)$6\sqrt{3}$.
详解：如图，连接 $OA$，$OB$，$MC$ 交 $AB$ 于点 $E$.
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore AB = AC = CB$，$\angle AOB = 120^{\circ}$.
$\because \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$，$\therefore \angle AOM=\angle BOM = 60^{\circ}$，$OE\perp AB$，
$\therefore AE = EB = AO\cdot\sin60^{\circ}=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(cm)$，
$\therefore AB = 2\sqrt{3}cm$，$\therefore \triangle ABC$ 的周长为 $6\sqrt{3}cm$.

14.运算能力（2024 湖南长沙岳麓三模）雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作是一个正六边形ABCDEF（如图所示），连接CF，若G是AB边的中点，连接GE，则$\frac{GE}{CF}$的值为________。

答案：
 $\frac{\sqrt{13}}{4}$
解析：如图，取 $DE$ 的中点 $H$，连接 $GH$，由对称性可知，$GH$ 所在的直线是正六边形的对称轴，设圆心为 $O$，连接 $OB$，$O$ 是线段 $CF$ 的中点，$\because$ 六边形 $ABCDEF$ 是正六边形，点 $O$ 是中心，$\therefore \angle BOC=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$，$\because OB = OC$，$\therefore \triangle BOC$ 是等边三角形，$\therefore OB = OC = BC$，在 $Rt\triangle BOG$ 中，$\angle BOG = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，设 $BG = x$，则 $OB = 2x$，$\therefore OG=\sqrt{OB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{3}x$，$\therefore GH = 2OG = 2\sqrt{3}x$，在 $Rt\triangle EGH$ 中，$HE = x$，$GH = 2\sqrt{3}x$，$\therefore GE=\sqrt{GH^{2}+EH^{2}}=\sqrt{13}x$，
$\because CF = 2OB = 4x$，$\therefore \frac{GE}{CF}=\frac{\sqrt{13}}{4}$.