《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$与$x$轴相交于$A$，$B$两点，点$B$的坐标为$(3,0)$，若点$C(2,3)$在抛物线上，则$AB$的长为________.

答案： 4
解析：$\because$抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$过点$B(3,0)$，$C(2,3)$，$\therefore \begin{cases}9a+3b + 3 = 0\\4a+2b + 3 = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1\\b = 2\end{cases}$，$\therefore$该抛物线的表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$，$\therefore$抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{2}{2\times(-1)} = 1$，$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点$A$的坐标为$(-1,0)$，$\therefore AB = 3-(-1)=4$。

17.(2023湖南岳阳中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx + m^{2}-m + 2 = 0$有两个不相等的实数根$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}=2$，则实数$m =$________.

答案： 3
解析：$\because$原方程有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta=(2m)^{2}-4\times1\times(m^{2}-m + 2)\gt0$，$\therefore m\gt2$。$\because x_{1}$，$x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx + m^{2}-m + 2 = 0$的两个实数根，$\therefore x_{1}+x_{2}=-2m$，$x_{1}\cdot x_{2}=m^{2}-m + 2$，$\because x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}=2$，$\therefore -2m+m^{2}-m + 2 = 2$，解得$m_{1}=0$（不符合题意，舍去），$m_{2}=3$，$\therefore$实数$m$的值为 3。

18.(2024江西中考)如图，$AB$是$\odot O$的直径，$AB = 2$，点$C$在线段$AB$上运动，过点$C$的弦$DE\perp AB$，将$\overset{\frown}{DBE}$沿$DE$翻折交直线$AB$于点$F$，当$DE$的长为正整数时，线段$FB$的长为________.

答案：
$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或 2
解析：$\because AB$为$\odot O$的直径，$DE$为弦，$\therefore DE\leqslant AB$，$\because AB = 2$，$\therefore$当$DE$的长为正整数时，$DE = 1$或 2。
当$DE = 2$时，$DE$为$\odot O$的直径，$DE\perp AB$，将$\overset{\frown}{DBE}$沿$DE$翻折交直线$AB$于点$F$，此时点$F$与点$A$重合，故$FB = 2$。
当$DE = 1$且点$C$在线段$OB$上时，如图 1，连接$OD$，$OD=\frac{1}{2}AB = 1$，$\because DE\perp AB$，$\therefore DC=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}$，$\therefore OC=\sqrt{OD^{2}-CD^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore BC = OB - OC=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，$\therefore FB = 2BC = 2-\sqrt{3}$。

当$DE = 1$且点$C$在线段$OA$上时，如图 2，连接$OD$，同理可得$BC=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，$\therefore FB = 2BC = 2+\sqrt{3}$。
综上，线段$FB$的长为$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或 2。

19.(答案含评分细则)(2024湖南三湘大联考模拟)(5分)解方程：$x^{2}-6x + 2 = 0$(用配方法).

答案： 解析：配方，得$x^{2}-6x + 3^{2}-3^{2}+2 = 0$，
即$(x - 3)^{2}=7$， …… 3 分
两边同时开平方，得$x - 3=\sqrt{7}$或$x - 3=-\sqrt{7}$， … 4 分
解得$x_{1}=3+\sqrt{7}$，$x_{2}=3-\sqrt{7}$。 …… 5 分

20.(答案含评分细则)(2024湖南常德澧县期末)(6分)计算：$\tan60^{\circ}\cdot\sin30^{\circ}+\frac{\sqrt{2}}{2\sin45^{\circ}}-2|\cos60^{\circ}-1|$.

答案： 解析：原式$=\sqrt{3}\times\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2\times\frac{\sqrt{2}}{2}}-2\times|\frac{1}{2}-1|$ …… 4 分
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+1 - 1$ …… 5 分
$=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 …… 6 分

21.(答案含评分细则)(2024辽宁大连九中期末)(7分)为了减轻老百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低.2022年这种药剂价格为400元，2024年该药剂价格为196元.
(1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率.
(2)该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于147元，则此次价格的下降率最大是多少？

答案： 解析：（1）设 2022 年到 2024 年这种药剂价格的年平均下降率为$x$，
根据题意，得$400(1 - x)^{2}=196$， …… 2 分
解得$x_{1}=0.3 = 30\%$，$x_{2}=1.7$（舍去）。
答：2022 年到 2024 年这种药剂价格的年平均下降率为 30%。 …… 4 分
（2）设此次价格的下降率是$y$，
根据题意，得$196(1 - y)\geqslant147$，解得$y\leqslant0.25$， … 6 分
$\therefore y$的最大值是$0.25 = 25\%$。
答：此次价格的下降率最大是 25%。 …… 7 分

22.(答案含评分细则)(2024湖南株洲石峰一模)(8分)如图，直线$y = x + b$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\gt0)$的图象交于$A(3,k - 2)$，$B$两点.
(1)求$k$，$b$的值.
(2)根据函数图象，求当$x + b\gt\frac{k}{x}$时，$x$的取值范围.

答案： 解析：（1）将$(3,k - 2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k = 3(k - 2)$，解得$k = 3$，$\therefore$点$A(3,1)$。 …… 3 分
将$(3,1)$代入$y = x + b$，得$1 = 3 + b$，解得$b=-2$。
…… 4 分
（2）由（1）可知反比例函数表达式为$y=\frac{3}{x}$，一次函数表达式为$y = x - 2$。 …… 5 分
联立，得$\begin{cases}y=\frac{3}{x}\\y = x - 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{1}=3\\y_{1}=1\end{cases}$，$\begin{cases}x_{2}=-1\\y_{2}=-3\end{cases}$，
$\therefore$点$B(-1,-3)$。 …… 6 分
根据题中图象可知，当$x + b\gt\frac{k}{x}$时，$x$的取值范围为$-1\lt x\lt0$或$x\gt3$。 …… 8 分