《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

19.[答案含评分细则](2024江西赣州定南期末)(5分)如图，正方形ABCD内接于$\odot O$，M为$\overset{\frown}{AD}$上一点，且$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，连接BM，CM，求证：$BM = CM$.(M9202002)

答案： 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = CD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。 …… 2 分
∵ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$， …… 4 分
即 $\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，
∴ $BM = CM$。 …… 5 分

20.[答案含评分细则](2022山东青岛中考)(6分)已知二次函数$y = x^{2} + mx + m^{2} - 3$(m为常数，$m＞0$)的图象经过点$P(2,4)$.(M9201004)
(1)求m的值.
(2)判断二次函数$y = x^{2} + mx + m^{2} - 3$的图象与x轴交点的个数，并说明理由.

答案： 解析：
(1)将 $(2,4)$ 代入 $y = x^{2}+mx+m^{2}-3$，
得 $4 = 4+2m+m^{2}-3$，解得 $m_{1}=1$，$m_{2}=-3$， …… 2 分
∵ $m＞0$，
∴ $m = 1$。…… 3 分
(2)二次函数 $y = x^{2}+mx+m^{2}-3$ 的图象与 $x$ 轴有 2 个交点。 …… 4 分
理由：
∵ $m = 1$，
∴ $y = x^{2}+x - 2$，
∴ $b^{2}-4ac = 1 + 8 = 9＞0$，
∴ 二次函数的图象与 $x$ 轴有 2 个交点。 …… 6 分

21.[答案含评分细则](2024山东济宁兖州模拟)(8分)已知$\triangle ABC$，请按以下要求完成本题.
(1)请作出$\triangle ABC$的外接圆$\odot O$(尺规作图，保留作图痕迹).
(2)若在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 65^{\circ}$，$\angle ACB = 45^{\circ}$，$\odot O$的直径AD交CB于E，求$\angle DEC$的度数.

答案：
解析：
(1)如图所示，$\odot O$ 即为所求。

…… 4 分
(2)如图，连接 $CD$， …… 5 分
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\angle ADC=\angle ABC = 65^{\circ}$。 …… 6 分
∵ $AD$ 为 $\odot O$ 的直径，
∴ $\angle ACD = 90^{\circ}$，
∴ $\angle DAC = 90^{\circ}-\angle ADC = 90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$， …… 7 分
∴ $\angle DEC=\angle DAC+\angle ACB = 25^{\circ}+45^{\circ}=70^{\circ}$。…… 8 分

22.[答案含评分细则](2023北京中考)(8分)在平面直角坐标系$xOy$中，$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$是抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a＞0)$上的任意两点，设抛物线的对称轴为直线$x = t$.(M9201002)
(1)若对于$x_{1} = 1$，$x_{2} = 2$，有$y_{1} = y_{2}$，求t的值.
(2)若对于$0＜x_{1}＜1$，$1＜x_{2}＜2$，都有$y_{1}＜y_{2}$，求t的取值范围.

答案： 解析：
(1)
∵ 对于 $x_{1}=1$，$x_{2}=2$，有 $y_{1}=y_{2}$，
∴ 抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{3}{2}$，
∴ $t=\frac{3}{2}$。 …… 4 分
(2)
∵ $0＜x_{1}＜1$，$1＜x_{2}＜2$，
∴ $\frac{1}{2}＜\frac{x_{1}+x_{2}}{2}＜\frac{3}{2}$，$x_{1}＜x_{2}$。 …… 6 分
∵ $y_{1}＜y_{2}$，$a＞0$，
∴ 点 $M(x_{1},y_{1})$ 离抛物线的对称轴（直线 $x = t$）更近，
∴ 线段 $MN$ 的中点在对称轴的右侧，
即 $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}＞t$，
∴ $t\leq\frac{1}{2}$。 …… 8 分

23.[答案含评分细则](2023湖南郴州中考)(9分)如图，在$\odot O$中，AB是直径，点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D，连接CD，CB，$\angle BCD = \angle A$.(M9202005)
(1)求证：直线CD是$\odot O$的切线.
(2)若$\angle ACD = 120^{\circ}$，$CD = 2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积(结果用含$\pi$的式子表示).

答案： 解析：
(1)证明：连接 $OC$， …… 1 分
∵ $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，
∴ $\angle ACB=\angle OCA+\angle OCB = 90^{\circ}$， …… 2 分
∵ $OA = OC$，$\angle BCD=\angle A$，
∴ $\angle OCA=\angle A=\angle BCD$，
∴ $\angle OCD=\angle BCD+\angle OCB = 90^{\circ}$，
∴ $OC\perp CD$，
∴ 直线 $CD$ 是 $\odot O$ 的切线。 …… 4 分
(2)
∵ $\angle ACD = 120^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴ $\angle A=\angle BCD = 120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$，
∴ $\angle BOC = 2\angle A = 60^{\circ}$。 …… 5 分
在 $Rt\triangle OCD$ 中，$\tan\angle BOC=\frac{CD}{OC}=\tan60^{\circ}$，$CD = 2\sqrt{3}$，
∴ $OC=\frac{CD}{\tan60^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$， …… 7 分
∴ $S_{阴影}=S_{\triangle COD}-S_{扇形 BOC}=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}\times2-\frac{60\pi\times2^{2}}{360}$
$=2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$。 …… 9 分