《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

1.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是(M9202007) （ ）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.等腰梯形

答案： C：只有正多边形的外接圆与内切圆是同心圆，故这个四边形是正方形. 故选 C.

2.（2024 湖南永州祁阳一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE - ∠COD = (M9202007) （ ）


A.60°
B.54°
C.48°
D.36°

答案： D：$\because$ 五边形 $ABCDE$ 是正五边形，
$\therefore \angle BAE=\frac{(5 - 2)\times180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$，$\angle COD=\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE-\angle COD = 108^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}$，故选 D.

3.新独家原创 已知圆的半径为1，且圆内接一个正方形，有下列结论：①这个正方形的中心角为45°；②这个正方形的边长为$\sqrt{2}$；③这个正方形的边心距为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；④这个正方形的面积为2.其中正确结论的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
C：如图，四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接正方形，$OE\perp BC$ 于点 $E$，$\therefore \angle BOC=\frac{360^{\circ}}{4}=90^{\circ}$，故结论①错误；
$\because OB = OC = 1$，$\therefore BC=\sqrt{2}$，故结论②正确；$S_{正方形ABCD}=BC^{2}=2$，故结论④正确；$\because \triangle BOC$ 是等腰直角三角形，$OE\perp BC$，$\therefore OE=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故结论③正确. 故选 C.

4.（2024 湖南益阳一模）如果某正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是________。(M9202007)

答案：  $10$
解析：这个正多边形的边数为 $360^{\circ}\div36^{\circ}=10$.

5.（2024 湖南邵阳武冈模拟）已知某正六边形的边心距为$\sqrt{6}$，则它的半径为________。(M9202007)

答案：
 $2\sqrt{2}$
解析：如图，正六边形 $ABCDEF$ 的边心距 $OG=\sqrt{6}$，由正六边形的性质可知 $\triangle AOB$ 是等边三角形，在 $Rt\triangle AOG$ 中，$OG=\sqrt{6}$，$\angle OAG = 60^{\circ}$，$\therefore OA=\frac{OG}{\sin60^{\circ}}=2\sqrt{2}$. 故这个正六边形的半径为 $2\sqrt{2}$.

6.已知：⊙O与⊙O上的一点A。(M9202007)
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF。（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是不是矩形，并说明理由。

答案：
解析：
(1) 如图，正六边形 $ABCDEF$ 即为所作.
(2) 四边形 $BCEF$ 为矩形. 理由如下：
连接 $BE$，如图，易知 $BE$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore \angle BFE=\angle BCE = 90^{\circ}$，同理可得 $\angle FBC=\angle CEF = 90^{\circ}$，
$\therefore$ 四边形 $BCEF$ 为矩形.

7.（2023 江苏无锡中考）有下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴. 其中真命题的个数是(M9202007) （ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

答案： C：各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题. 正五边形不是中心对称图形，故②为假命题. 正六边形中，连接所有的半径，可把正六边形分成 $6$ 个全等的等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题. 根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正 $n$ 边形共有 $n$ 条对称轴，故④为真命题. 故选 C.

8.（2021 湖南株洲中考，8，★☆☆）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI = (M9202007) （ ）


A.10°
B.12°
C.14°
D.15°

答案： B：易知 $\angle FAB=\frac{(6 - 2)\times180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$，$\angle IAB=\frac{(5 - 2)\times180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$，$\therefore \angle FAI=\angle FAB-\angle IAB = 120^{\circ}-108^{\circ}=12^{\circ}$，故选 B.

9.（2024 四川德阳中考，8，★☆☆）已知正六边形ABCDEF的面积为6$\sqrt{3}$，则正六边形的边长为(M9202007) （ ）
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.4

答案：
C：如图，连接 $OA$，$OB$，过点 $O$ 作 $OM\perp AB$，垂足为点 $M$，$\because$ 六边形 $ABCDEF$ 是正六边形，$\therefore \triangle AOB$ 是等边三角形，$\therefore OA = OB = AB$，设 $AB = x$，$\because S_{正六边形}=6S_{\triangle AOB}=6\sqrt{3}$，
$\therefore 6\times\frac{1}{2}x\times\frac{\sqrt{3}}{2}x=6\sqrt{3}$，解得 $x = 2$ 或 $x=-2$（舍去），即正六边形的边长为 $2$. 故选 C.

10.情境题·数学文化（2023 福建中考，10，★★☆）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少. 割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6. 如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形的面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为(M9202007) （ ）
A.$\sqrt{3}$ B.2$\sqrt{2}$
C.3 D.2$\sqrt{3}$

答案：
C：如图，$AB$ 是正十二边形的一条边，点 $O$ 是正十二边形的中心，过点 $A$ 作 $AM\perp OB$ 于点 $M$，在正十二边形中，$\angle AOB = 360^{\circ}\div12 = 30^{\circ}$，$\therefore AM=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}$，$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OB\cdot AM=\frac{1}{2}\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，$\therefore$ 正十二边形的面积为 $12\times\frac{1}{4}=3$，$\because 3\approx1^{2}\times\pi$，$\therefore \pi\approx3$，则 $\pi$ 的估计值为 $3$，故选 C.