《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

10.(2024浙江中考,23,★★☆)已知二次函数$y = x^{2}+bx + c(b,c$为常数)的图象经过点$A(-2,5)$，对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$.(M9201002)
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点$B(1,7)$向上平移$2$个单位长度，向左平移$m(m ＞ 0)$个单位长度后，恰好落在$y = x^{2}+bx + c$的图象上，求$m$的值；
(3)当$-2\leq x\leq n$时，二次函数$y = x^{2}+bx + c$的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，求$n$的取值范围.

答案： 解析
(1)$\because$函数$y = x^{2}+bx + c$的图象的对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$，$\therefore-\frac{b}{2}=-\frac{1}{2}$，解得$b = 1$，$\therefore y = x^{2}+x + c$.
$\because$函数图象经过点$A(-2, 5)$，$\therefore4 - 2 + c = 5$，解得$c = 3$，$\therefore y = x^{2}+x + 3$.
(2)点$B(1, 7)$向上平移$2$个单位长度，向左平移$m(m＞0)$个单位长度，得到点$(1 - m, 9)$.$\because$点$(1 - m, 9)$在函数$y = x^{2}+x + 3$的图象上，$\therefore9=(1 - m)^{2}+(1 - m)+3$，解得$m = 4$或$m = -1$（舍去），$\therefore m = 4$.
(3)当$x = -2$时，$y = 4 - 2 + 3 = 5$，当$x = n$时，$y = n^{2}+n + 3=(n+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}$. 分三种情况进行讨论：当$n＜-\frac{1}{2}$时，最大值与最小值的差为$5-[(n+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}]=\frac{9}{4}$，解得$n_{1}=n_{2}=-\frac{1}{2}$，不合题意，舍去. 当$-\frac{1}{2}\leq n\leq1$时，最大值与最小值的差为$5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$，符合题意. 当$n＞1$时，最大值与最小值的差为$(n+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$，解得$n_{1}=1$，$n_{2}=-2$，不合题意，都舍去.
综上所述，$n$的取值范围为$-\frac{1}{2}\leq n\leq1$.

11.几何直观 最短路径问题 (2023湖南长沙浏阳期中)如图，已知二次函数$y = ax^{2}-4x + c$的图象经过点$A(-1,-1)$和点$B(3,-9)$.(M9201002)
(1)求该二次函数的表达式.
(2)求该抛物线的对称轴及顶点坐标.
(3)点$C(m,m)$在该函数图象上(其中$m ＞ 0$)，求$m$的值.
(4)在(3)的条件下，在该抛物线的对称轴上是否存在一点$P$，使$PC + PB$的值最小？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 解析
(1)将$(-1, -1)$，$(3, -9)$分别代入$y = ax^{2}-4x + c$，得$\begin{cases}a + 4 + c = -1\\9a - 12 + c = -9\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\c = -6\end{cases}$，$\therefore$该二次函数的表达式为$y = x^{2}-4x - 6$.
(2)$\because y = x^{2}-4x - 6=(x - 2)^{2}-10$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = 2$，顶点坐标为$(2, -10)$.
(3)$\because$点$C(m, m)$在该函数图象上，$\therefore m^{2}-4m - 6 = m$，解得$m = 6$或$m = -1$.$\because m＞0$，$\therefore m = 6$.
(4)在该抛物线的对称轴上存在一点$P$，使$PC + PB$的值最小.
由
(3)可知$C(6, 6)$，作点$B(3, -9)$关于抛物线对称轴的对称点$B'(1, -9)$，如图，连接$CB'$，易知当点$P$为$CB'$与对称轴的交点时，$PC + PB$的值最小.
设直线$CB'$的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，把$(6, 6)$，$(1, -9)$分别代入，得$\begin{cases}6k + b = 6\\k + b = -9\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 3\\b = -12\end{cases}$，$\therefore$直线$CB'$的解析式为$y = 3x - 12$. 抛物线的对称轴为直线$x = 2$，当$x = 2$时，$y = 3\times2 - 12=-6$，$\therefore P(2, -6)$，$\therefore$当点$P$的坐标为$(2, -6)$时，$PC + PB$的值最小.

1.(2023天津二中期末)某二次函数的图象过点$(3,0)$，$(2,-3)$，对称轴为直线$x = 1$，则这个二次函数的解析式为____________.

答案：  $y = x^{2}-2x - 3$
解析 $\because$抛物线的对称轴为直线$x = 1$，抛物线与$x$轴的一个交点的坐标为$(3, 0)$，$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点的坐标为$(-1, 0)$，$\therefore$设抛物线解析式为$y = a(x + 1)(x - 3)$，把$(2, -3)$代入，得$a\times3\times(-1)=-3$，解得$a = 1$，$\therefore$抛物线解析式为$y=(x + 1)(x - 3)=x^{2}-2x - 3$.

2.(2023山东济南期末)小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组$y$与$x$的对应值：
|$x$|$\cdots$|$0$|$1$|$2$|$3$|$4$|$5$|$\cdots$|
|$y$|$\cdots$|$5$|$0$|$-3$|$-4$|$-3$|$0$|$\cdots$|
该二次函数的解析式是____________.

答案：  $y=(x - 3)^{2}-4$（或$y = x^{2}-6x + 5$）
解析 由题表中数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点坐标为$(3, -4)$，$\therefore$设二次函数的解析式为$y = a(x - 3)^{2}-4(a\neq0)$，将$(1, 0)$代入，得$4a - 4 = 0$，解得$a = 1$，$\therefore$该二次函数的解析式为$y=(x - 3)^{2}-4$（或$y = x^{2}-6x + 5$）.

3.已知二次函数$y$有最大值$4$，且其图象与$x$轴两交点间的距离是$8$，对称轴为直线$x = -3$，此二次函数的表达式为____________.

答案： $y = -\frac{1}{4}(x + 3)^{2}+4$（或$y = -\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$）
解析 $\because$二次函数$y$有最大值$4$，图象对称轴为直线$x = -3$，$\therefore$图象的顶点坐标为$(-3, 4)$，故设该二次函数表达式为$y = a(x + 3)^{2}+4(a\neq0)$. 由于图象与$x$轴两交点间的距离是$8$，根据图象的对称性可得图象与$x$轴的两个交点坐标是$(-7, 0)$和$(1, 0)$. 把$(1, 0)$代入$y = a(x + 3)^{2}+4$，得$a\times(1 + 3)^{2}+4 = 0$，解得$a = -\frac{1}{4}$，则该二次函数表达式为$y = -\frac{1}{4}(x + 3)^{2}+4$（或$y = -\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$）.