《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

10.(2022湖南邵阳中考,9,★★☆)如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,若AB = 3,则⊙O的半径是（M9202004）（ ）

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{5}{2}$

答案： C：连接 OB，过 O 点作 OE⊥BC 于点 E，易得 BO 平分∠ABC，
∴∠OBE = 30°.
∵OE⊥BC，
∴BE = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$. 在 Rt△OBE 中，cos∠OBE = $\frac{BE}{OB}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得 OB = $\sqrt{3}$，即⊙O 的半径为$\sqrt{3}$，故选 C.

11.(2024湖南益阳沅江两校一模,9,★★☆)如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,点D是弧AC上一动点(不与A,C重合),有下列结论:①∠ADB = ∠BDC;②DA = DC;③当DB最长时,DB = 2DC;④DA + DC = DB.其中一定正确的结论有（M9202004）（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案：
C：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC = ∠ACB = 60°.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠ADB = ∠ACB = 60°，∠BDC = ∠BAC = 60°，
∴∠ADB = ∠BDC，故①正确.
∵点 D 是弧 AC 上一动点，
∴$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{CD}$不一定相等，
∴DA 与 DC 不一定相等，故②错误. 当 DB 最长时，DB 为⊙O 的直径，此时∠BCD = 90°，
∵∠BDC = 60°，
∴∠DBC = 30°，
∴DB = 2DC，故③正确. 在 DB 上取一点 E，使 DE = AD，如图，
∵∠ADB = 60°，
∴△ADE 是等边三角形，
∴AD = AE，∠DAE = 60°，
∵∠BAC = 60°，
∴∠BAE = ∠CAD. 又
∵AB = AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE = CD，
∴BD = BE + DE = CD + AD，故④正确. 综上，一定正确的结论有①③④，共 3 个，故选 C.

12.[易错题](2024黑龙江哈尔滨南岗一模,19,★★☆)等腰△ABC内接于⊙O,若⊙O的半径为10,等腰△ABC的底边长为12,则这个等腰三角形的腰长AB = ________.（M9202004）

答案：
2$\sqrt{10}$或 6$\sqrt{10}$
解析：假设等腰△ABC 中，底边为 BC（底边为 AC、AB 时情况类似）. 连接 OB，过 O 点作 OD⊥BC 于点 D，则 BD = CD = $\frac{1}{2}BC = 6$，OD 垂直平分 BC，
∵AB = AC，
∴点 A 在直线 OD 上，即点 A、O、D 共线，在 Rt△BOD 中，OB = 10，BD = 6，
∴OD = $\sqrt{OB^{2}-BD^{2}} = 8$. 当△ABC 为锐角三角形时，如图 1，AD = OD + AO = 8 + 10 = 18，在 Rt△ABD 中，AB = $\sqrt{BD^{2}+AD^{2}} = 6\sqrt{10}$. 当△ABC 为钝角三角形时，如图 2，AD = AO - OD = 10 - 8 = 2，在 Rt△ABD 中，AB = $\sqrt{BD^{2}+AD^{2}} = 2\sqrt{10}$. 综上可知，这个等腰三角形的腰长为 2$\sqrt{10}$或 6$\sqrt{10}$.

13.(2022广西玉林中考,17,★★☆)如图,在5×7的网格中,小正方形的边长均为1,O,A,B,C,D,E均在格点上,点O是△ABC的外心,在不添加其他字母的情况下,除△ABC外把你认为外心也是O点的三角形都写出来:________.（M9202004）

答案： △ABD，△ACD，△BCD
解析：由题图可知，OA = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，OB = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，OC = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，OD = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，OE = $\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，
∴OA = OB = OC = OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD 的外心都是 O 点.

14.(2024湖南常德澧县期末,22,★★☆)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC = 90°,BE平分∠ABC交⊙O于点E.（M9202004）
(1)若AB = BE,求证:∠BCA = ∠BAE;
(2)若AB = 12,BC = 5,求AE的长度.

答案： 解析：
(1)证明：
∵AB = BE，
∴∠BEA = ∠BAE，
∵∠BCA = ∠BEA，
∴∠BCA = ∠BAE.
(2)在 Rt△ABC 中，AB = 12，BC = 5，∠ABC = 90°，
∴AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 13$，AC 是⊙O 的直径，
∴∠AEC = 90°，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠CBE = ∠ABE，
∴$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AE}$，
∴CE = AE，
∴△AEC 是等腰直角三角形，
∴CE = AE = $\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\frac{13\sqrt{2}}{2}$.

15.[推理能力](2024湖南长沙教科院模拟)正弦定理在高中数学中有很广泛的运用,下面先探索正弦定理,然后尝试应用正弦定理解决问题.（M9202004）
(1)在△ABC中,顶点A,B,C所对的边分别为a,b,c,记△ABC的外接圆半径为r,求证:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2r$.（本题图未给出）
(2)如图,在等边三角形ABC中,D,E分别为边BC,AC上的点,且满足AE = CD,过B点作AD的垂线交AD于点F,设AD与BE交于点G,若GF = x,GE = y,求△ACD的外接圆半径(用含x,y的式子表示).

答案：
解析：
(1)证明：如图，作△ABC 的外接圆⊙O，作⊙O 的直径 AD，连接 BD，则 AD = 2r，∠ABD = 90°，
∵∠ABD = 90°，∠D = ∠C，AB = c，
∴$\frac{AB}{AD}=\sin D=\sin C$，
∴$\frac{c}{\sin C}=2r$. 同理，$\frac{a}{\sin A}=2r$，$\frac{b}{\sin B}=2r$，
∴$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2r$.
(2)
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB = CA，∠BAE = ∠C = 60°. 在△ABE 和△CAD 中，$\begin{cases}AB = CA\\\angle BAE = \angle C\\AE = CD\end{cases}$，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE = AD，∠ABE = ∠CAD，
∴∠BGD = ∠BAD + ∠ABE = ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC = 60°.
∵BF⊥AD，
∴∠BFG = 90°，
∴∠FBG = 90° - ∠BGD = 30°，
∴BG = 2GF = 2x，
∴AD = BE = BG + GE = 2x + y，设△ACD 的外接圆的半径为 r，则$\frac{AD}{\sin C}=2r$，
∴$\frac{2x + y}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2r$，
∴r = $\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y$，
∴△ACD 的外接圆半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y$.