《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

1. (2024 湖南衡阳珠晖一模)抛物线$y = 2(x + 3)^2 + 1$的对称轴是(M9201002) ( )
A. 直线$x = 3$
B. 直线$x = -3$
C. 直线$x = -1$
D. 直线$x = 1$

答案： B $\because$ 抛物线的解析式为$y = 2(x + 3)^2 + 1$，$\therefore$ 抛物线顶点坐标为$(-3,1)$，对称轴为直线$x = -3$. 故选 B.

2. (2022 湖南郴州中考)关于二次函数$y = (x - 1)^2 + 5$,下列说法正确的是(M9201002) ( )
A. 函数图象的开口向下
B. 函数图象的顶点坐标是(-1,5)
C. 该函数有最大值,最大值是5
D. 当$x ＞ 1$时,$y$随$x$的增大而增大

答案： D $\because y=(x - 1)^2 + 5$，$\therefore$ 函数图象的开口向上，顶点坐标是$(1,5)$，对称轴为直线$x = 1$，$\therefore$ 当$x = 1$时，函数取得最小值，为 5，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大. 故选 D.

3. (2024 湖南衡阳珠晖一模)已知二次函数$y = (x + 1)^2 - 2$的图象上有三点$A(1,y_1)$,$B(2,y_2)$,$C(-2,y_3)$,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为(M9201002) ( )
A. $y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B. $y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
C. $y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$
D. $y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$

答案： B $\because y=(x + 1)^2 - 2$，$\therefore y_1=(1 + 1)^2 - 2 = 2$，$y_2=(2 + 1)^2 - 2 = 7$，$y_3=(-2 + 1)^2 - 2 = -1$，$\because 7＞2＞-1$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$，故选 B.

4. (2024 湖南常德澧县期末)在平面直角坐标系中,将抛物线$y = x^2 - 4$先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是 ( )
A. $y = (x + 2)^2 + 2$
B. $y = (x - 2)^2 - 2$
C. $y = (x - 2)^2 + 2$
D. $y = (x + 2)^2 - 2$

答案： B 将抛物线$y = x^2 - 4$先向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式是$y=(x - 2)^2 - 4 + 2$，即$y=(x - 2)^2 - 2$. 故选 B.

5. (2024 湖南长沙浏阳期中)二次函数$y = -(x + 1)^2 - 2$的图象与$y$轴的交点坐标是________.

答案： $(0,-3)$
**解析** 将$x = 0$代入$y=-(x + 1)^2 - 2$中，得$y=-1 - 2=-3$，$\therefore$ 抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$.

6. [新独家原创]若二次函数$y = h(x - 1)^2 + h^2$的图象最高点的坐标为(1,4),则$h =$________.

答案：  -2
**解析** $\because$ 二次函数$y = h(x - 1)^2 + h^2$的图象最高点的坐标为$(1,4)$，$\therefore\begin{cases}h＜0,\\h^2 = 4,\end{cases}$ $\therefore h=-2$.

7. [教材变式·P15T3]已知抛物线的对称轴为直线$x = -3$,最大值为1,且与$x$轴交于点(-4,0),则这个抛物线的表达式为 ____________.(M9201002)

答案：  $y=-x^2 - 6x - 8$（或$y=-(x + 3)^2 + 1$）
**解析** 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为$(-3,1)$，设这个抛物线的表达式为$y = a(x + 3)^2 + 1$. 由抛物线经过点$(-4,0)$，可得$a(-4 + 3)^2 + 1 = 0$，解得$a=-1$，$\therefore$ 这个抛物线的表达式为$y=-(x + 3)^2 + 1=-x^2 - 6x - 8$.

8. (2024 湖南常德安乡一模,7,★☆☆)二次函数$y = 2(x + m)^2 + n$的图象如图所示,则一次函数$y = nx + m$的图象经过 ( )

A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限

答案： D $\because y = 2(x + m)^2 + n$，$\therefore$ 抛物线顶点坐标为$(-m,n)$. $\because$ 抛物线顶点在第四象限，$\therefore n＜0$，$-m＞0$，$\therefore m＜0$，$\therefore$ 直线$y = nx + m$经过第二、三、四象限，故选 D.

9. (2024 湖南长沙岳麓模拟,10,★☆☆)二次函数$y = m(x + 3)^2 - 3$($m$为常数且$m \neq 0$)的图象与$y$轴交于点$A$.将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转$180^{\circ}$,旋转后的图象与$y$轴交于点$B$,若$AB = 12$,则$m$的值为 ( )
A. 1或$-\frac{1}{3}$
B. 1或-3
C. 3
D. $\frac{1}{3}$

答案： A $\because$ 二次函数$y = m(x + 3)^2 - 3$（$m$为常数且$m\neq0$）的图象与$y$轴交于点$A$，当$x = 0$时，$y = 9m - 3$，$\therefore A(0,9m - 3)$. $\because$ 将二次函数$y = m(x + 3)^2 - 3$的图象以原点为旋转中心旋转$180^{\circ}$，$\therefore$ 旋转后的抛物线解析式为$-y = m(-x + 3)^2 - 3$，即$y=-m(x - 3)^2 + 3$，当$x = 0$时，$y=-9m + 3$，$\therefore B(0,-9m + 3)$，$\because AB = 12$，$\therefore|9m - 3-(-9m + 3)| = 12$，$\therefore|18m - 6| = 12$，解得$m = 1$或$m=-\frac{1}{3}$，故选 A.

10. [新考向·新定义试题](2021 湖南岳阳中考,8,★★☆)定义:我们将图象顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图,在正方形$OABC$中,点$A(0,2)$,点$C(2,0)$,则“互异二次函数”$y = (x - m)^2 - m$的图象与正方形$OABC$有交点时,$m$的最大值和最小值分别是(M9201002) ( )

A. 4,-1
B. $\frac{5 - \sqrt{17}}{2},-1$
C. 4,0
D. $\frac{5 + \sqrt{17}}{2},-1$

答案：
D 如图，由题意可得，“互异二次函数”$y=(x - m)^2 - m$的图象的顶点$(m,-m)$在直线$y=-x$上，在正方形$OABC$中，点$A(0,2)$，点$C(2,0)$，$\therefore B(2,2)$. 从图象上可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，先经过点$A$，最后经过点$B$，$\therefore$ 只需算出当函数图象经过点$A$及点$B$时$m$的值，即可求出$m$的最大值及最小值. 当“互异二次函数”$y=(x - m)^2 - m$的图象经过点$A(0,2)$时，$m = 2$或$m=-1$；当“互异二次函数”$y=(x - m)^2 - m$的图象经过点$B(2,2)$时，$m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$或$m=\frac{5 + \sqrt{17}}{2}$.$\therefore$ “互异二次函数”$y=(x - m)^2 - m$的图象与正方形$OABC$有交点时，$m$的最大值和最小值分别是$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$-1$.