《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

11.(2024湖南邵阳邵东三模,17,★☆☆)如图,BC为圆锥的底面直径,AD为圆锥的高,若AD = 6 cm,∠BAC = 60°,则这个圆锥的侧面积为________cm².(结果保留π)(M9203002)

答案：   $24\pi$
解析 ：$\because AB = AC$，$AD\perp BC$，$\therefore\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$，在 $Rt\triangle ABD$ 中，$AD = 6\ cm$，$\therefore BD = AD\cdot\tan\angle BAD=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}(cm)$，$\therefore AB = 2BD = 4\sqrt{3}\ cm$，$\therefore$ 这个圆锥的侧面积为 $\pi×2\sqrt{3}×4\sqrt{3}=24\pi(cm^{2})$。

12.(2021湖南邵阳中考,24,★★☆)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥,如图1,它的底面圆的直径ED的长与母线AD的长的比为1∶2.制作这种外包装需要用到如图2所示的等腰三角形材料,其中AB = AC,AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时,AE,AF恰好重合.(M9203002)
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小.
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm,求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积(结果保留π).

答案： 解析 \n（1）$\because ED:AD = 1:2$，$\therefore AD = 2DE$，设 $\angle BAC=n^{\circ}$。由题意得 $\frac{\pi}{2}\cdot ED\cdot AD=\frac{n\pi\cdot AD^{2}}{360}$，$\therefore n = 90$，$\therefore\angle BAC = 90^{\circ}$。\n（2）$\because$ 直径 $ED = 5\ cm$，$\therefore AD = 2DE = 10\ cm$，$\because AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle ABC$ 为等腰直角三角形，$\because AD\perp BC$，$\therefore BD = CD = AD = 10\ cm$，$\therefore BC = BD + CD = 20\ cm$，$\therefore S_{阴影}=S_{\triangle BAC}-S_{扇形 EAF}=\frac{1}{2}BC\cdot AD - S_{扇形 EAF}=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90\pi×10^{2}}{360}=(100 - 25\pi)cm^{2}$。
答：加工材料剩余部分的面积为 $(100 - 25\pi)cm^{2}$。

13.推理能力 (2023江苏南京建邺一模)如图,在菱形纸片ABCD中,AB = 6,∠ABC = 60°,分别剪出扇形ABC和☉O,使其恰好能作为一个圆锥的侧面和底面.若点O在BD上,则BO的最大值是 ( )



A.6$\sqrt{3}$ - 1
B.6$\sqrt{3}$- 2
C.3$\sqrt{3}$+ 1
D.3$\sqrt{3}$+ 2

答案：
B 连接 $AC$ 交 $BD$ 于 $P$ 点，如图，$\because$ 四边形 $ABCD$ 为菱形，$\therefore AC\perp BD$，$PB = PD$，$\angle ABP=\frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}$，$AB// DC$，$\therefore PA=\frac{1}{2}AB = 3$，$\angle CDB=\angle ABD = 30^{\circ}$，$\therefore BP=\sqrt{3}AP = 3\sqrt{3}$，$\therefore BD = 2BP = 6\sqrt{3}$，设圆锥的底面圆的半径为 $r$，根据题意得 $2\pi r=\frac{60\pi×6}{180}$，解得 $r = 1$。当 $\odot O$ 与 $DA$、$DC$ 相切时，$BO$ 的值最大，过 $O$ 点作 $OH\perp DC$ 于 $H$，则 $OH = 1$，$\therefore OD = 2OH = 2$，$\therefore BO = BD - OD = 6\sqrt{3}-2$，即 $BO$ 的最大值是 $6\sqrt{3}-2$。故选 B。

例 (2023湖北十堰中考)如图,已知点C为圆锥母线SB的中点,AB为底面圆的直径,SB = 6,AB = 4,一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点,则蚂蚁爬行的最短路程为(M9203004) ( )


A.5
B.3$\sqrt{3}$

C.3$\sqrt{3}$

D.6$\sqrt{3}$

答案：
B $\because$ 底面圆的直径 $AB = 4$，$\therefore$ 底面圆周长 $= 4\pi$。圆锥的侧面展开图如图，设圆心角 $\angle ADA'=n^{\circ}$，则 $4\pi=\frac{n\pi×6}{180}$，解得 $n = 120$，$\therefore\angle ADB = 120^{\circ}÷2 = 60^{\circ}$。又 $\because SA = SB$，$\therefore\triangle SAB$ 为等边三角形。$\because C$ 为 $SB$ 的中点，$\therefore AC\perp SB$，$SC = 3$，$\therefore AC=\sqrt{SA^{2}-SC^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}} = 3\sqrt{3}$，即蚂蚁爬行的最短路程为 $3\sqrt{3}$。故选 B。

1.圆锥体变为圆柱体 (2024湖南衡阳雁峰期末)如图,圆柱的底面直径为16/π,BC = 12,动点P从A点出发,沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S,则点P移动的最短路程为(M9203004) ( )
A.10 B.12 C.14 D.20

答案：
A 圆柱的部分侧面展开图如图所示，连接 $AS$，$\angle B = 90^{\circ}$，$AS$ 的长即为点 $P$ 移动的最短路程。$\because$ 圆柱底面圆的直径为 $\frac{16}{\pi}$，$\therefore AB=\frac{1}{2}×\pi×\frac{16}{\pi}=8$，$\because BC = 12$，$S$ 为 $BC$ 的中点，$\therefore BS=\frac{1}{2}BC = 6$，$\therefore AS=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$。故选 A。

2.改变终点位置 (2023内蒙古赤峰中考)某班学生表演课本剧,要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图,这个圆锥的底面圆周长为20π cm,母线AB长为30 cm.为了使帽子更加美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条点A处开始,侧面一周一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计),这条彩带的最短长度是(M920004) ( )

A.30 cm
B.30$\sqrt{3}$ cm
C.60 cm
D.20π cm

答案：
B $\because$ 圆锥的底面圆周长为 $20\pi\ cm$，$\therefore$ 圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 $20\pi\ cm$。如图，连接 $AA'$，设扇形 $ABA'$ 的圆心角为 $n^{\circ}$，则 $\frac{n\pi×30}{180}=20\pi$，解得 $n = 120$，$\therefore\angle ABA' = 120^{\circ}$，$\because AB = A'B$，$\therefore\angle BAA'=\frac{1}{2}(180 - \angle ABA') = 30^{\circ}$，过 $B$ 点作 $BC\perp AA'$ 于点 $C$，$\therefore AC = AB\cdot\cos30^{\circ}=30×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}(cm)$，$\therefore AA' = 2AC = 30\sqrt{3}\ cm$，即这条彩带的最短长度是 $30\sqrt{3}\ cm$。故选 B。