《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

21.(2024河北中考)(12分)甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a + b,2a + b,a - b,除正面的代数式不同外,其余均相同.(M9204002)
(1)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,当a = 1,b = -2时,求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.
(2)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张并记录,放回后重新洗匀,再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简),并求出和为单项式的概率.
|第一次和第二次|a + b|2a + b|a - b|
|----|----|----|----|
|a + b|2a + 2b| |2a|
|2a + b| | | |
|a - b|2a| | |

答案： 解析 （1）当$a = 1$，$b = - 2$时，$a + b = - 1$，$2a + b = 0$，$a - b = 3$.
∵从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\frac{1}{3}$.
（2）补全表格如下：
| 第一次和第二次 | $a + b$ | $2a + b$ | $a - b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a + b$ | $2a + 2b$ | $3a + 2b$ | $2a$ |
| $2a + b$ | $3a + 2b$ | $4a + 2b$ | $3a$ |
| $a - b$ | $2a$ | $3a$ | $2a - 2b$ |
共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有4种，
∴和为单项式的概率为$\frac{4}{9}$.

22.(情境题·爱国主义教育)(2022湖南湘潭中考)(14分)5月30日是全国科技工作者日,某校准备举办“走近科技英雄,讲好中国故事”的主题比赛活动.八年级(1)班由A₁、A₂、A₃三名同学在班上进行初赛,推荐排名前两位的同学参加学校决赛.(M9204002)
(1)请写出在班上初赛时,这三名同学讲故事顺序的所有可能结果.
(2)若A₁、A₂两名同学参加学校决赛,学校制作了编号为A、B、C的3张卡片(如图,除编号和内容外,其余完全相同),放在一个不透明的盒子里.先由A₁随机摸取1张卡片记下编号,然后放回,再由A₂随机摸取1张卡片记下编号,根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事.求A₁、A₂两人恰好讲述同一名英雄故事的概率(请用画树状图或列表的方法写出分析过程).
|A “杂交水稻之父”袁隆平|
|B “天眼之父”南仁东|
|C “航天之父”钱学森|

答案：
解析 （1）这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为$A_1$、$A_2$、$A_3$；$A_1$、$A_3$、$A_2$；$A_2$、$A_1$、$A_3$；$A_2$、$A_3$、$A_1$；$A_3$、$A_1$、$A_2$；$A_3$、$A_2$、$A_1$.
（2）根据题意画树状图如图：

由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中$A_1$、$A_2$两人恰好讲述同一名英雄故事的情况有3种，则$A_1$、$A_2$两人恰好讲述同一名英雄故事的概率是$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.