《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

8.（2023 湖南益阳中考，24，★★☆）某企业准备对$A$，$B$两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资$A$项目一年后的收益$y_A$（万元）与投入资金$x$（万元）的函数表达式为$y_A=\frac{2}{5}x$，投资$B$项目一年后的收益$y_B$（万元）与投入资金$x$（万元）的函数表达式为$y_B = -\frac{1}{5}x^2 + 2x$.
(1)若将10万元资金投入$A$项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对$A$，$B$两个项目投入相同的资金$m$（$m＞0$）万元，一年后两者获得的收益相等，则$m$的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到$A$，$B$两个项目中，当$A$，$B$两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？

答案： **解析**
(1) 当 $x = 10$ 时，$y_{A}=\frac{2}{5}\times10 = 4$.
答：一年后获得的收益是 $4$ 万元.
(2) 由题意得当 $x = m$ 时，$y_{A}=y_{B}$，$\therefore\frac{2}{5}m=-\frac{1}{5}m^{2}+2m$，解得 $m_{1}=8$，$m_{2}=0$（舍去），故 $m$ 的值是 $8$.
(3) 设投入 $B$ 项目的资金是 $t$ 万元，一年后获得的收益之和为 $W$ 万元，则投入 $A$ 项目的资金为 $(32 - t)$ 万元，由题意得 $W=-\frac{1}{5}t^{2}+2t+\frac{2}{5}(32 - t)=-\frac{1}{5}(t - 4)^{2}+16$，$\because-\frac{1}{5}＜0$，$\therefore$ 当 $t = 4$ 时，$W$ 取得最大值，为 $16$，$32 - 4 = 28$（万元），$\therefore$ 投入 $A$ 项目的资金是 $28$ 万元，投入 $B$ 项目的资金是 $4$ 万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是 $16$ 万元.

9. 模型观念 （2024 湖南常德津市一模）某电子公司生产并销售一种新型电子产品，经过调查发现：每月生产$x$台电子产品的成本$y$（元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变，为2 000元，材料成本（单位：元）与$x$成正比，人工成本（单位：元）与$x$的平方成正比.在生产过程中得到如下数据：
|$x$（单位：台）|20|40|
|----|----|----|
|$y$（单位：元）|2 104|2 216|
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)若某月平均每台电子产品的成本是26元，求这个月生产电子产品多少台.
(3)若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着$x$的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为$Q$（单位：元），且有$Q = mx + n$（$m$、$n$均为常数），已知当$x = 2 000$时，$Q = 35$，且此时销售利润$W$（单位：元）有最大值，求$m$、$n$的值（提示：销售利润 = 销售收入 - 成本）.

答案： **解析**
(1) 设 $y = ax^{2}+bx + 2000$，$\because$ 当 $x = 20$ 时，$y = 2104$，当 $x = 40$ 时，$y = 2216$，$\therefore\begin{cases}400a + 20b + 2000 = 2104\\1600a + 40b + 2000 = 2216\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a=\frac{1}{100}\\b = 5\end{cases}$，$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=\frac{1}{100}x^{2}+5x + 2000$.
(2) 根据题意得 $26x=\frac{1}{100}x^{2}+5x + 2000$，解得 $x_{1}=2000$，$x_{2}=100$.
答：这个月生产电子产品 $100$ 台或 $2000$ 台.
(3) $W=x(mx + n)-(\frac{1}{100}x^{2}+5x + 2000)=(m-\frac{1}{100})x^{2}+(n - 5)x - 2000$，当 $x=-\frac{n - 5}{2(m-\frac{1}{100})}=2000$ 时，销售利润 $W$ 有最大值，化简得 $4000m + n = 45$. 当 $x = 2000$ 时，$Q = 35 = 2000m + n$，联立 $\begin{cases}4000m + n = 45\\2000m + n = 35\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m=\frac{1}{200}\\n = 25\end{cases}$.