《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

11.新独家原创 若一个二次函数图象的最高点是坐标原点,则该二次函数的表达式可以是____________.

答案：  $y = -2x^{2}$（答案不唯一）\n解析：$\because$二次函数图象的最高点是坐标原点，$\therefore$设二次函数的表达式为$y = ax^{2}(a \neq 0)$，且其图象开口向下，$\therefore$该二次函数的表达式可以是$y = -2x^{2}$（答案不唯一）.

12.(2024湖南长沙浏阳期末)要得到函数$y = 2(x - 1)^{2}+3$的图象,可以将函数$y = 2x^{2}$的图象向_______平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度.

答案：  右     解析：抛物线$y = 2x^{2}$的顶点坐标是$(0,0)$，抛物线$y = 2(x - 1)^{2}+3$的顶点坐标是$(1,3)$，所以将函数$y = 2x^{2}$的图象向右平移$1$个单位，再向上平移$3$个单位得到函数$y = 2(x - 1)^{2}+3$的图象.

13.(2024湖南常德安乡期末)已知二次函数$y = x^{2}+(n - 2)x + 3$,当x＞1时,y随x的增大而增大,则n的取值范围是_________.(M9201002)

答案：  $n \geq 0$\n解析：$\because a = 1 \gt 0$，$\therefore$抛物线开口向上.抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{n - 2}{2}=1-\frac{n}{2}$.$\because$当$x \gt 1$时，$y$随$x$的增大而增大，$\therefore 1-\frac{n}{2} \leq 1$，解得$n \geq 0$.

14.(2023湖南长沙实验中学期末)某学校航模组设计制作的火箭升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式$h = -t^{2}+12t + 1$.如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞,那么降落伞将在离地面_________m处打开.

答案：  $37$  解析：$h = -t^{2}+12t + 1 = -(t - 6)^{2}+37$，$\because a = -1 \lt 0$，$\therefore$当$t = 6$时，$h$有最大值，为$37$，$\therefore$火箭点火升空后的最高点距地面$37\ m$，$\therefore$降落伞将在离地面$37\ m$处打开.

15.新考向·规律探究试题 (2024辽宁九校联考月考)观察下列两个两位数的积:61×69,62×68,……,68×62,69×61.设这两个两位数的积为y,第一个两位数个位上的数为x(x是整数且1≤x≤9),则y关于x的函数关系式为__________.

答案：  $y = -x^{2}+10x + 4200$\n解析：这两个两位数的积为$y$，其中一个乘数为$60 + x$，另一个乘数为$60+(10 - x)=70 - x$，$\therefore y=(60 + x)\cdot(70 - x)=4200 - 60x + 70x - x^{2}=-x^{2}+10x + 4200$.

16.一题多解 (2023湖南长沙雨花期末)下表是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的自变量x与函数值y的几组对应值,则代数式a - b + c的值为________.
| x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| y | … | -3 | -1 | -3 | -9 | … |

答案：  $-9$\n解析：\n【解法一】对称法：由题表可得抛物线经过点$(0,-3)$，$(2,-3)$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0 + 2}{2}=1$，$\therefore x = -1$和$x = 3$时的函数值相等，$\because$抛物线经过点$(3,-9)$，$\therefore x = -1$时，$y = -9$，即$a - b + c = -9$.\n【解法二】表达式法：把$(0,-3)$、$(1,-1)$、$(2,-3)$分别代入$y = ax^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}c = -3\\a + b + c = -1\\4a + 2b + c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -2\\b = 4\\c = -3\end{cases}$，$\therefore a - b + c = -2 - 4 - 3 = -9$.

17.跨历史·卢沟晓月 “卢沟晓月”是古代著名的燕京八景之一,每当黎明斜月西沉之时,月色倒映水中,更显明媚皎洁.卢沟桥主桥拱可以近似看成抛物线,桥拱在水面的跨度OA约为22米,若按如图所示的方式建立平面直角坐标系,则主桥拱所在抛物线可以表示为$y = -\frac{13}{121}(x - 11)^{2}+k$,主桥拱最高点P与其在水中的倒影P'之间的距离为________米.

答案：  $26$\n解析：由题意可知点$A(22,0)$在抛物线上，把$(22,0)$代入$y = -\frac{13}{121}(x - 11)^{2}+k$，得$0 = -\frac{13}{121}\times(22 - 11)^{2}+k$，解得$k = 13$，$\therefore y = -\frac{13}{121}(x - 11)^{2}+13$，$\because -\frac{13}{121} \lt 0$，$\therefore$当$x = 11$时，$y$有最大值，为$13$，$\therefore y_{P}=13$.$\because$点$P$和$P'$关于$x$轴对称，$\therefore PP' = 2\times13 = 26$（米）.

18.(2024四川自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE = 6.6 m,OE = 1.4 m,OB = 6 m,OC = 5 m,OD = 3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是______m².

答案：  $46.4$\n解析：要使矩形菜地的面积最大，则要利用$AO$和$OC$构成矩形.设矩形在射线$OA$上的一边长为$x\ m$，矩形菜地的面积为$S\ m^{2}$.\n当$x \leq 8$时，矩形在射线$OC$上的一边长为$\frac{16 - x - 1.4 + 5}{2}=\frac{19.6 - x}{2}\ m$，$\therefore S = x\cdot\frac{19.6 - x}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+9.8x = -\frac{1}{2}(x - 9.8)^{2}+48.02$.$\because -\frac{1}{2} \lt 0$，$\therefore x \leq 9.8$时，$S$随$x$的增大而增大，$\therefore$当$x = 8$时，$S$取得最大值，为$46.4$.\n当$x \gt 8$时，矩形菜园的周长为$16 + 6.6 + 5 = 27.6\ m$，则矩形在射线$OC$上的一边长为$\frac{27.6 - 2x}{2}=(13.8 - x)\ m$，$\therefore S = x(13.8 - x)=-x^{2}+13.8x = -(x - 6.9)^{2}+47.61$.$\because -1 \lt 0$，$\therefore x \gt 6.9$时，$S$随$x$的增大而减小，$\therefore$当$x \gt 8$时，$S$的值均小于$46.4$.
综上可知，该矩形菜地的最大面积为$46.4\ m^{2}$.

19.(2024湖南长沙开福校级三模)(5分)如图,已知抛物线$y = -x^{2}+mx + 3$经过点M(-2,3).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当0≤x≤1时,直接写出y的取值范围.

答案： 解析：\n（1）$\because$抛物线$y = -x^{2}+mx + 3$经过点$M(-2,3)$，$\therefore 3 = -4 - 2m + 3$，解得$m = -2$，所以抛物线的解析式为$y = -x^{2}-2x + 3$.\n（2）当$0 \leq x \leq 1$时，$y$的取值范围为$0 \leq y \leq 3$.\n详解：抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{-2}{-2}=-1$，开口向下，$\therefore$当$x \geq -1$时，$y$随$x$的增大而减小.当$x = 0$时，$y = 3$.当$x = 1$时，$y = 0$，所以当$0 \leq x \leq 1$时，$y$的取值范围为$0 \leq y \leq 3$.