《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

18. 右侧扫码·视频讲解 (10分)随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车正逐渐成
为人们喜爱的交通工具,某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售。 据了解,
2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元;3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计
95万元。
(1)A,B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元?
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买),若该
汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元,销售1辆B型汽车可获利5000元,问:购进
A型、B型汽车各几辆,才能获得最大利润? 最大利润是多少?

答案： 18.【点拨】本题考查二元一次方程组的应用以及一次函数的应用。
【解析】
(1)设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，
根据题意得$\begin{cases}2x + 3y = 80, \\ 3x + 2y = 95, \end{cases}$解得$\begin{cases}x = 25, \\ y = 10。$$ \end{cases}$
答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元。
(2)设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进$\frac{200 - 25m}{10}$辆B型汽车。
根据题意得$w = 8000m + 5000×\frac{200 - 25m}{10}，$
即w = -4500m + 100000。
∵-4500 ＜ 0，
∴w随m的增大而减小。
又
∵m，$\frac{200 - 25m}{10}$均为正整数，
∴m的最小值为2，
∴当m = 2时，w取得最大值，最大值为 -4500×2 + 100000 = 91000，此时$\frac{200 - 25m}{10} = \frac{200 - 25×2}{10} = 15。$
答：购进2辆A型汽车、15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元。

19. 右侧扫码·视频讲解 (12分)如图,直线$AB:y = x + 3$分别与$x$轴、$y$轴交于$A,B$两点,过点$B$
的直线交$x$轴正半轴于点$C$,且$OB:OC = 3:1$。
(1)直接写出点$A,B,C$的坐标;
(2)在线段$OB$上存在点$P$,点$P$到点$B,C$的距离相等,求出点$P$的坐标;
(3)$E$为第一象限的一个动点,当$\triangle BCE$为等腰直角三角形时,请写出所有符合条件的点$E$的坐标,
并选择其中一种情况写出解答过程。

答案：
19.【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线、构造全等三角形和直角三角形是解题的关键。
【解析】
(1)把y = 0代入y = x + 3，得0 = x + 3，
解得x = -3，
∴A(-3,0)。
把x = 0代入y = x + 3，得y = 3，
∴B(0,3)，
∴OB = 3。
∵OB:OC = 3:1，
∴OC = 1，
∴C(1,0)。
(2)如图1，连接PC。
∵点P到点B，C的距离相等，
∴PB = PC。

设PB = PC = x，则OP = 3 - x。
在Rt△OPC中，根据勾股定理可得$OC^2 + OP^2 = PC^2，$
∴$1^2 + (3 - x)^2 = x^2，$解得$x = \frac{5}{3}，$
∴$OP = 3 - x = \frac{4}{3}，$
∴$P(0,\frac{4}{3})。$
(3)①如图2，当BC = CE，∠BCE = 90°时，过点E作EF⊥x轴于点F。
∵∠BCE = 90°，
∴∠BCO + ∠FCE = 90°。
∵∠BCO + ∠OBC = 90°，
∴∠FCE = ∠OBC。
∵∠FCE = ∠OBC，∠BOC = ∠CFE = 90°，BC = CE，
∴△OBC ≌ △FCE(AAS)，
∴CF = OB = 3，OC = EF = 1，
∴E(4,1)；


②如图3，当BC = BE，∠CBE = 90°时，过点E作EG⊥y轴于点G，
和①同理可证△OBC ≌ △GEB，
∴BG = OC = 1，OB = GE = 3，
∴E(3,4)；
③如图4，当BE = CE，∠BEC = 90°时，过点E作EN⊥y轴于点N，过点E作EM⊥x轴于点M。
∵OB = 3，OC = 1，
∴$BC = \sqrt{OC^2 + OB^2} = \sqrt{10}。$
根据勾股定理可得$BE^2 + CE^2 = 2BE^2 = BC^2 = 10，$
∴$BE = \sqrt{5}。$
∵EN⊥y轴，EM⊥x轴，∠MON = 90°，
∴四边形OMEN为长方形，
∴ON = EM，∠MEN = 90°，
∴∠CEM + ∠CEN = 90°。
∵∠BEC = ∠BEN + ∠CEN = 90°，
∴∠BEN = ∠CEM。
∵∠BNE = ∠CME = 90°，BE = CE，
∴△BNE ≌ △CME(AAS)，
∴BN = CM，NE = ME。
设ON = ME = NE = x，则BN = 3 - x，
∴$(3 - x)^2 + x^2 = BE^2，$
∴$(3 - x)^2 + x^2 = 5，$解得$x_1 = 1，$$x_2 = 2，$
∴ON = 2或ON = 1(舍)，
∴E(2,2)。

综上，E(4,1)或E(3,4)或E(2,2)。