《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

8. 如图,在等边$\triangle ABC$中,$AB = 2\ \mathrm{cm}$,$BD$平分$\angle ABC$,点$E$在$BC$的延长线上,且$\angle E = 30°$,则$CE$的长是(A)。

A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$4\ \mathrm{cm}$

答案： 8. A [点拨]本题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答。
[解析]$\because$等边$\triangle ABC$的边长$AB = 2 cm$，$BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ACB = 60^{\circ}$，$DC = AD = 1 cm$。$\because \angle E = 30^{\circ}$，$\angle E + \angle EDC = \angle ACB$，$\therefore \angle EDC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ} = \angle E$，$\therefore CD = CE = 1 cm$。故选A。

9. 已知点$A(x_1,a)$,$B(x_1 + 1,b)$都在函数$y = -4x + 1$的图象上,下列对于$a$与$b$的关系判断正确的是(B)。

A.$a - b = -4$
B.$a - b = 4$
C.$a + b = 4$
D.$a + b = -4$

答案： 9. B [点拨]本题考查一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，用含$x_1$的代数式表示出$a,b$的值是解题的关键。
[解析]$\because$点$A(x_1,a)$，$B(x_1 + 1,b)$都在函数$y = -4x + 1$的图象上，$\therefore a = -4x_1 + 1$，$b = -4(x_1 + 1) + 1 = -4x_1 - 3$，$\therefore a - b = -4x_1 + 1 - (-4x_1 - 3) = -4x_1 + 1 + 4x_1 + 3 = 4$。故选B。

10. 右侧扫码·视频讲解 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = BC = \sqrt{3}$,$AB$边上有$80$个不同的点$D_1,D_2,·s,D_{80}$(异于$A,B$两点),记$p_i = CD_i^2 + AD_i · D_iB(i = 1,2,·s,80)$,则$p_1 + p_2 + ·s + p_{80}$的值是(D)。

A.$100\sqrt{3}$
B.$320$
C.$160\sqrt{3}$
D.$240$

答案：
10. D [点拨]本题考查等腰三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键。
[解析]过点$C$作$CE \perp AB$于点$E$，如图所示。$\because AC = BC = \sqrt{3}$，$\therefore AE = BE$，$AB = 2AE$，$\therefore D_1E = AD_1$，$AD_1 = AB - D_1B$。在$ Rt \triangle ACE$中，由勾股定理得$AE^{2} + CE^{2} = AC^{2} = 3$，在$ Rt \triangle CD_1E$中，由勾股定理得$CD_1^{2} = CE^{2} + D_1E^{2}$，
$\therefore CD^{2} = CE^{2} + (AE - AD_1)^{2}$
$= CE^{2} + AE^{2} - 2AE · AD_1 + AD_1^{2}$
$= 3 - AD_1(2AE - AD_1)$
$= 3 - AD_1(AB - D_1B)$
$= 3 - AD_1 · BD_1$，
$\therefore p_1 = CD^{2} + AD_1 · D_1B = 3 - AD_1 · BD_1 + AD_1 · D_1B = 3$，
同理可得，$p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = ·s = p_{80} = 3$，
$\therefore p_1 + p_2 + ·s + p_{80} = 3 × 80 = 240$。

故选D。

11. $-27$的立方根是-3。

答案： 11. -3 [点拨]本题考查立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。注意一个数的立方根与原数的符号相同。
[解析]$\because (-3)^{3} = -27$，$\therefore \sqrt[3]{-27} = -3$。故答案为$-3$。

12. 若$(a - 2)x^{|a| - 1} + 3y = 1$是关于$x,y$的二元一次方程,则$a$的值为-2。

答案： 12. -2 [点拨]本题考查二元一次方程的定义，能根据二元一次方程的定义得出$a - 2 \neq 0$且$|a| - 1 = 1$是解此题的关键。
[解析]$\because$方程$(a - 2)x^{|a| - 1} + 3y = 1$是关于$x,y$的二元一次方程，$\therefore a - 2 \neq 0$且$|a| - 1 = 1$，解得$a = -2$。故答案为$-2$。

13. 实数$a,b$在数轴上的位置如图所示,则化简$\sqrt{(a - b)^2} - \sqrt[3]{b^3}$的结果为-a。

答案： 13. -a [点拨]本题考查利用数轴比较数的大小,化简绝对值,算术平方根,掌握$\sqrt{a^{2}} = |a|$是解题的关键。
[解析]由数轴得$a ＜ 0 ＜ b$，$\therefore a - b ＜ 0$，
$\therefore \sqrt{(a - b)^{2}} - \sqrt[3]{b^{3}} = |a - b| - b = b - a - b = -a$。
故答案为$-a$。

14. 如图,长方体盒子的长、宽、高分别为$5\ \mathrm{cm}$、$4\ \mathrm{cm}$、$6\ \mathrm{cm}$,在$AE$中点$M$处有一滴蜜糖,有一只小虫沿盒子表面(每个面均可爬)从点$G$爬到点$M$去吃糖,则最短路线长为$\sqrt{74} cm$。

答案：
14. $\sqrt{74} cm$ [点拨]本题考查平面展开——最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是分情况画出图形，并知道应求出哪一条线段的长。
[解析]分三种情况展开：
①如图1，展开前面和右侧面，连接$GM$，在$ Rt \triangle GEM$中，$GE = GF + EF = 5 + 4 = 9( cm)$，$EM = \frac{1}{2}AE = 3( cm)$，
由勾股定理，得$GM = \sqrt{GE^{2} + EM^{2}} = \sqrt{9^{2} + 3^{2}} = 3\sqrt{10}( cm)$；

②如图2，展开下面和后面，连接$GM$，
在$ Rt \triangle GFM$中，$GF = 5 cm$，$FM = FE + EM = 4 + 3 = 7( cm)$，
由勾股定理，得$GM = \sqrt{GF^{2} + FM^{2}} = \sqrt{5^{2} + 7^{2}} = \sqrt{74}( cm)$；
③如图3，展开下面和右侧面，连接$GM$，
在$ Rt \triangle GHM$中，$GH = 4 cm$，
$HM = HE + EM = 5 + 3 = 8( cm)$，
由勾股定理，得$GM = \sqrt{GH^{2} + HM^{2}} = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = 4\sqrt{5}( cm)$，
$\because \sqrt{74} ＜ 4\sqrt{5} ＜ 3\sqrt{10}$，
$\therefore$从点$G$爬到点$M$的最短路线长是$\sqrt{74} cm$。


故答案为$\sqrt{74} cm$。

15. 右侧扫码·视频讲解 若关于x,y的方程组$\begin{cases}4x + my = 12,\m + n)x - 2y = 6\end{cases}$有无数组解,其中m,n不为0,则mn = ______ 。

答案： 15. -24 [点拨]本题考查二元一次方程组的解，理解题意，正确求出$m,n$的值是解题的关键。
[解析]$\begin{cases}4x + my = 12, &①\\(m + n)x - 2y = 6. &②\end{cases}$
②$× 2$，得$2(m + n)x - 4y = 12$。
$\because$关于$x,y$的方程组$\begin{cases}4x + my = 12\\(m + n)x - 2y = 6\end{cases}$有无数组解，$m,n$不为$0$，$\therefore 2(m + n) = 4$，$m = -4$，
$\therefore n = 6$，$\therefore mn = -4 × 6 = -24$。故答案为$-24$。

16. 右侧扫码·视频讲解 如图,$A(4,0)$,$B(2,0)$,$C(-2,0)$是平面直角坐标系中三点,$P$为$y$轴正半轴上一个动点,将线段$PB$绕点$P$逆时针旋转$90°$得到线段$PQ$,点$B$的对应点为$Q$,$QC$交$y$轴于点$D$,则$\triangle ACD$的周长为$2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 6$。

答案：
16. $2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 6$ [点拨]本题考查坐标与图形变化——旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。
[解析]如图，连接$PC$。
$\because A(4,0)$，$B(2,0)$，$C(-2,0)$，
$\therefore OA = 4$，$OC = OB = 2$，$AC = 6$。
$\because PO \perp CB$，$\therefore PC = PB$，
$\therefore \angle CPO = \angle BPO$，设$\angle CPO = \angle BPO = x$，则有$\angle PCB = 90^{\circ} - x$。
$\because PQ = PB$，$\therefore PC = PQ$。
$\therefore \angle PCQ = \angle Q = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 90^{\circ} - 2x) = 45^{\circ} - x$，
$\therefore \angle DCO = \angle PCO - \angle PCQ = 90^{\circ} - x - (45^{\circ} - x) = 45^{\circ}$，
$\therefore OC = OD = 2$，
$\therefore CD = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$，$AD = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$，
$\therefore \triangle ACD$的周长$= 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 6$。

故答案为$2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 6$。

17. (12 分)计算。
(1) $-1^4 - |\sqrt{3} - 1| + (\sqrt{2} - 1.414)^0 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1}$；
(2) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(3) 解二元一次方程组:$\begin{cases}x - 2y = 4,\\4x + 3y = 5\end{cases}$。

答案： 17. [点拨]本题考查二次根式的混合运算，零指数幂及负整数指数幂，解二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键。
[解析]
(1)$-1^{4} - |\sqrt{3} - 1| + (\sqrt{2} - 1.414)^{0} - (- \frac{1}{2})^{-1}$
$= -1 - (\sqrt{3} - 1) + 1 + 2$
$= -1 - \sqrt{3} + 1 + 1 + 2$
$= 3 - \sqrt{3}$。
(2)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$
$= \sqrt{48 ÷ 3} - \sqrt{\frac{1}{2} × 12} + 2\sqrt{6}$
$= \sqrt{16} - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$= 4 + \sqrt{6}$。
(3)$\begin{cases}x - 2y = 4, &①\\4x + 3y = 5. &②\end{cases}$
①$× 4$，得$4x - 8y = 16$，③
②$-$③，得$11y = -11$，
解得$y = -1$。
把$y = -1$代入①，得$x - 2 × (-1) = 4$，
解得$x = 2$，
故二元一次方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = -1.\end{cases}$