《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

24. 右侧扫码·视频讲解 (10分)如图1,在四边形$ABCD$中,$AD // BC$,$\angle ABC = 90°$,$AB = 4\ \mathrm{cm}$,$BD = CD$。动点$P$从点$B$出发,沿$B \to A \to D \to C$的方向以每秒$1\ \mathrm{cm}$的速度匀速运动,在整个运动过程中,$\triangle BCP$的面积$S(\mathrm{cm}^2)$与运动时间$t(\mathrm{s})$的函数图象如图2所示。
(1)$BC = \boldsymbol{$6$}\ \mathrm{cm}$;
(2)求点$P$在$DC$段上运动时,$\triangle BCP$的面积$S$与运动时间$t$的函数关系式;
(3)当$\triangle BCP$的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$时,求$t$的值。

答案：
24.[点拨]本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键。
[解析]
(1)在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 4 cm$，$BD = CD$。动点$P$从点$B$出发，沿$B \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow C$的方向以每秒$1 cm$的速度匀速运动，
当点$P$运动到点$A$时，$S_{\triangle BCP} = \frac{1}{2} · BC · AB = 12$，$\because AB = 4 cm$，$\therefore BC = 6 cm$。
故答案为$6$。
(2)过点$D$作$DE \perp BC$交$BC$于点$E$，如图。
$\because AD// BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle A = \angle DEB = 90^{\circ}$，
则四边形$ABED$为矩形，
$\therefore DE = AB = 4 cm$，$AD = BE$。

$\because BD = CD$，$DE \perp BC$，$BC = 6 cm$，
$\therefore BE = CE = \frac{1}{2}BC = 3 cm = AD$，
在$ Rt \triangle ABD$中，$BD = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5( cm)$，
$\therefore CD = BD = 5 cm$，
则可得点$P$运动到点$A$时的坐标为$(4,12)$，运动到点$D$时的坐标为$(7,12)$，运动到点$C$时的坐标为$(12,0)$，
当点$P$在$CD$上，即$7 \leq t \leq 12$时，设$S = kt + b$，
将$(7,12)$，$(12,0)$代入得$\begin{cases}7k + b = 12\\12k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - \frac{12}{5}\\b = \frac{144}{5}\end{cases}$
$\therefore S$与$t$之间的函数关系式为$S = - \frac{12}{5}t + \frac{144}{5}(7 \leq t \leq 12)$。
(3)点$P$在$AB$上，即$0 \leq t \leq 4$时，设$S = at$，
将$(4,12)$代入得$4a = 12$，解得$a = 3$，
$\therefore S$与$t$之间的函数关系式为$S = 3t(0 \leq t \leq 4)$；
当$S = 10$时，即$10 = 3t$或$10 = - \frac{12}{5}t + \frac{144}{5}$，
解得$t = \frac{10}{3}$或$t = \frac{47}{6}$。
综上所述，当$t$的值为$\frac{10}{3}$或$\frac{47}{6}$时，$\triangle BCP$的面积为$10 cm^2$。