《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

23. 右侧扫码·视频讲解(10分)某超市从厂家购进$A,B$两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：

(1)$A,B$两种型号的水杯进价各是多少元?
(2)第三次进货用$8000$元购进这两种水杯，如果每售出一个$A$型水杯可获利$8$元，售出一个$B$型水杯可获利$6$元，超市决定每售出一个$A$型水杯就为当地“爱心捐赠”活动捐$b$元。若$A,B$两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时$b$为多少?利润为多少?

答案： 23.[点拨]本题考查二元一次方程组的应用。
[解析]
(1)设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据题意得$\begin{cases}100x + 200y = 4000\\40x + 60y = 1300\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = 10\\y = 15\end{cases}$，
答:A种型号的水杯进价为10元，B种型号的水杯进价为15元。
(2)设总利润为w元，购进A种水杯a个，
依题意得$w=(8 - b)a+6×\frac{8000 - 10a}{15}=(4 - b)a+3200$，
∵捐款后所得的利润始终不变，
∴w值与a值无关，
∴4 - b = 0，
解得b = 4，
∴w = 3200，
答:捐款后所得的利润始终不变，此时b为4，利润为3200元。

24. 右侧扫码·视频讲解(13分)阅读以下材料，完成问题。
如图1，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$。若已知一个角的对边与斜边的比值，则可得到该角的角度数。如：若$\frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\angle A = 45^{\circ}$;若$\frac{AB}{AC} = \frac{1}{2}$，则$\angle C = 30^{\circ}$。
(1)小试牛刀：如图2，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，$AD \perp BC$，$AD = 1$，则$BC =$$1+\sqrt{3}$;
(2)问题探究：如图3，在$\triangle ABC$中，$AB = 8$，$BC = 10$，$\angle ABD = 15^{\circ}$，$\angle CBD = 45^{\circ}$，$E$是线段$BD$上的动点，求$AE + \frac{\sqrt{2}}{2}BE$的最小值;
(3)问题解决：如图4，在平面直角坐标系中，直线$y = -\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$分别与$x$轴，$y$轴交于点$A,B$，点$C(0,-4\sqrt{3})$，$P$为直线$AB$上的动点，以$OP$为边在其下方作等边$\triangle OPQ$。连接$CQ$，那么$OQ + \frac{1}{2}CQ$是否存在最小值，若存在，求出其最小值及此时点$P$的坐标，若不存在，请说明理由。

答案：
24.[点拨]本题考查一次函数的性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键。
[解析]
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°，
在Rt△ABD中，∠B = 45°，AD = 1，
∴∠BAD = ∠B = 45°，
∴BD = AD = 1。
在Rt△ACD中，∠C = 30°，
∴CA = 2AD = 2，$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$，
∴BC = BD + CD = 1 + $\sqrt{3}$。
故答案为$1+\sqrt{3}$。
(2)如图1，过点E作EH⊥BC于点H，
∵∠CBD = 45°，EH⊥BC，
∴△BEH是等腰直角三角形，

∴$BE=\sqrt{2}EH$，
∴$AE+\frac{\sqrt{2}}{2}BE=AE+EH$，
∴当A，E，H三点共线，且AH⊥BC时，AE + EH有最小值。
∵∠ABD = 15°，∠CBD = 45°，
∴∠ABH = 60°，
∴∠BAH = 30°，
∴$BH=\frac{1}{2}AB = 4$，
∴$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{64 - 16}=4\sqrt{3}$，
∴$AE+\frac{\sqrt{2}}{2}BE$的最小值为$4\sqrt{3}$。
(3)存在，理由如下:
如图2，以OC为边作等边△OCH，过点P作PE//OA，过点H作HE⊥PE于点E，交x轴于点F，

∵点C(0，- 4$\sqrt{3}$)，
∴OC = 4$\sqrt{3}$。
∵△OCH是等边三角形，
∴OH = OC = 4$\sqrt{3}$，∠COH = 60°，
∴∠FOH = 30°，
∴FH = 2$\sqrt{3}$，OF = 6，
∴H(6，- 2$\sqrt{3}$)。
∵x = 6时，y = - 6$\sqrt{3}+4\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$，
∴点H在直线AB上。
∵直线$y = -\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$分别与x轴，y轴交于点A，B，
∴A(4，0)，B(0，4$\sqrt{3}$)，
∴OA = 4，OB = 4$\sqrt{3}$，
∴$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=8$，
∵$\frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴∠ABO = 30°。
∵PE//OA，HE⊥PE，BO⊥OA，
∴EH//BO，
∴∠ABO = ∠AHE = 30°，
∴$PE=\frac{1}{2}PH$
∵△OPQ是等边三角形，
∴OP = OQ，∠POQ = 60° = ∠HOC，
∴∠POH = ∠COQ，
∴△COQ≌△HOP(SAS)，
∴CQ = PH，
∴CQ = PH = 2PE，
∴$OQ+\frac{1}{2}CQ=OP+PE$，
∴当O，P，E三点共线，且OE⊥EH时，$OQ+\frac{1}{2}CQ$有最小值为OF的长，即$OQ+\frac{1}{2}CQ$的最小值为6。此时点P的坐标为(4，0)。