《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

8. 右侧扫码·视频讲解 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(-3, 0)$，点$B(0, 4)$，对$\triangle OAB$连续旋转，依次得到①，②，③，④…，那么旋转$26$次的三角形的直角顶点的坐标为(C)。


A.$(96, 0)$
B.$(100, 0)$
C.$(103.2, 2.4)$
D.$(105.2, 2.4)$

答案：
8.C【点拨】本题考查点的坐标规律。
【解析】由题意可得$\triangle OAB$旋转3次和原来的相对位置一样，点$A(-3,0)$，$B(0,4)$，$\therefore OA = 3$，$OB = 4$，$\angle BOA = 90°$，$\therefore AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，$\therefore$旋转到第3次时的直角顶点的坐标为$(12,0)$。
$\because 26 ÷ 3 = 8 ·s 2$，$\therefore$旋转第24次的直角顶点的坐标为$(96,0)$。旋转第25次直角顶点的坐标与第24次一样，是$(96,0)$。如图，设点$C$是旋转第26次的直角顶点，作$CD \perp EF$于点$D$。

$\because EC = 3$，$FC = 4$，$EF = 5$，$\angle ECF = 90°$，$\therefore S_{\triangle EFC} = \frac{1}{2}EF · CD = \frac{1}{2}EC · FC$，$\therefore CD = 2.4$，$\therefore FD = \sqrt{FC^2 - CD^2} = 3.2$，$\therefore$旋转26次的三角形的直角顶点的坐标是$(96 + 4 + 3.2,2.4)$，即$(103.2,2.4)$。故选C。

9. 下列各数：$-\dfrac{2}{7}$，$\sqrt{6}$，$0$，$\dfrac{\pi}{2}$，$\sqrt[3]{8}$，$1.\dot{3}\dot{5}$，$60\%$中的无理数为$$$\sqrt{6}$，$\frac{\pi}{2}$$$。

答案： 9.$\sqrt{6}$，$\frac{\pi}{2}$【点拨】本题考查无理数的定义。
【解析】$\sqrt[3]{8} = 2$，在$-\frac{2}{7}$，$\sqrt{6}$，$0$，$\frac{\pi}{2}$，$\sqrt[3]{8}$，$1.35$，$60\%$中的无理数为$\sqrt{6}$，$\frac{\pi}{2}$。故答案为$\sqrt{6}$，$\frac{\pi}{2}$。

10. 若$a + b \lt 0$，$ab \gt 0$，那么点$(a, b)$在第$$三$$象限。

答案： 10.三【点拨】本题考查各个象限点的坐标特征。
【解析】$\because a + b ＜ 0$，$ab ＞ 0$，$\therefore a ＜ 0$，$b ＜ 0$，
$\therefore$点$(a,b)$在第三象限。故答案为三。

11. 若$x$，$y$为实数，且$x = \sqrt{y - 3} + \sqrt{3 - y} - 2$，则$y^{x}$的值为$$$\frac{1}{9}$$$。

答案： 11.$\frac{1}{9}$【点拨】本题考查算术平方根的非负性，负整数指数幂。
【解析】$\because x = \sqrt{y - 3} + \sqrt{3 - y} - 2$，$\therefore \begin{cases} y - 3 \geq 0, \\ 3 - y \geq 0, \end{cases}$ $\therefore y - 3 = 0$，解得$y = 3$，代入$x = \sqrt{y - 3} + \sqrt{3 - y} - 2$，得$x = -2$，$\therefore y^x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$。故答案为$\frac{1}{9}$。

12. 已知点$P$在$x$轴上，且点$P$到$y$轴的距离等于$6$，则点$P$的坐标是$$$(6,0)$或$(-6,0)$$$。

答案： 12.$(6,0)$或$(-6,0)$【点拨】本题考查应用点到坐标轴的距离求坐标。
【解析】$\because$点$P$在$x$轴上，且点$P$到$y$轴的距离等于$6$，$\therefore x_P = \pm 6$，$y_P = 0$，$\therefore$点$P$的坐标为$(6,0)$或$(-6,0)$。故答案为$(6,0)$或$(-6,0)$。

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 45^{\circ}$，点$D$，$E$，$F$在$\triangle ABC$的边上，$BD = DE = 2$，$FD = CD = 4$，则$\triangle DEF$的面积是4。

答案： 13.4【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【解析】$\because \angle A = 45°$，$\therefore \angle B + \angle C = 180° - 45° = 135°$。$\because BD = DE = 2$，$FD = CD = 4$，$\therefore \angle B = \angle BED$，$\angle C = \angle CFD$，$\therefore \angle B + \angle BED + \angle C + \angle CFD = 135° × 2 = 270°$，$\therefore \angle BDE + \angle CDF = 90°$，$\therefore \angle EDF = 90°$，$\therefore \triangle DEF$的面积$= \frac{1}{2}DE · FD = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。故答案为4。

14. 右侧扫码·视频讲解 如图，在平面直角坐标系中，$\angle OAB = 90^{\circ}$，$\angle ABO = 30^{\circ}$，点$B$在$x$轴上，点$E$坐标为$(4, 0)$，点$D(3, 2\sqrt{3})$在$AB$边上，点$P$在$\angle AOB$的平分线$OC$上移动，则$PE - PD$的最大值是$$1$$。

答案： 14.1【点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的三边关系，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理。
【解析】$\because \angle OAB = 90°$，$\angle ABO = 30°$，$\therefore \angle AOB = 180° - \angle OAB - \angle ABO = 180° - 90° - 30° = 60°$。$\because$点$P$在$\angle AOB$的平分线$OC$上，$\therefore \angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} × 60° = 30°$，即点$E$关于直线$OC$的对称点在$OA$上，作点$E$关于直线$OC$的对称点$E'$，过点$E'$作$E'F \perp OB$于点$F$，连接$E'D$并延长交$OC$于点$P'$，根据对称的性质得$PE = PE'$，$OE = OE' = 4$，则在$\triangle PDE'$中，$PE' - PD ＜ DE'$，当点$P$移动到点$P'$的位置时，$PE' - PD = DE'$，此时$PE - PD$的值最大。
在$Rt\triangle E'FO$中，$\angle E'OF = 60°$，$\therefore \angle OE'F = 180° - \angle E'FO - \angle E'OF = 180° - 90° - 60° = 30°$，故$OF = \frac{1}{2}OE' = 2$，$E'F = \sqrt{OE'^2 - OF^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$，$\therefore E'(2,2\sqrt{3})$，故点$D$与点$E'$的纵坐标相同，则此时$PE - PD = DE' = 3 - 2 = 1$。故答案为1。

15. （6分）解方程。
(1) $3(x + 1)^{2} = 27$；
(2) $(x - 6)^{3} = -125$。

答案： 15.【解析】$(1)3(x + 1)^2 = 27$
$\therefore (x + 1)^2 = 9$。
$\therefore x + 1 = 3$或$x + 1 = -3$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = -4$。
$(2)(x - 6)^3 = -125$
$\therefore x - 6 = -5$
$\therefore x = 1$

16. （16分）计算。
(1) $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{\dfrac{4}{3}}$；
(2) $\sqrt{18} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{32} + \sqrt[3]{64}$；
(3) $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2} - (\sqrt{3} - 1)^{0} + \sqrt{(-4)^{2}}$；
(4) $\dfrac{\sqrt{80} + \sqrt{20}}{\sqrt{5}} - (\sqrt{7} - 3)^{2}$。

答案： 16.【解析】$(1)\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{\frac{4}{3}}$
$= 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3}$
$= \frac{19\sqrt{3}}{3}$。
$(2)\sqrt{18} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{32} + \sqrt[3]{64}$
$= \sqrt{6} - 4 + 4$
$= \sqrt{6}$。
$(3)(\frac{1}{5})^{-2} - (\sqrt{3} - 1)^0 + \sqrt{(-4)^2}$
$= 25 - 1 + 4$
$= 28$。
$(4)\frac{\sqrt{80} + \sqrt{20}}{\sqrt{5}} - (\sqrt{7} - 3)^2$
$= \frac{4\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - (7 - 6\sqrt{7} + 9)$
$= 6 - 7 + 6\sqrt{7} - 9$
$= -10 + 6\sqrt{7}$。