《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

23. 右侧扫码·视频讲解 (8分)观察下列等式,解答下面的问题:
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)×(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}-1$;
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$。
(1)化简:$\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}=$$\sqrt{13}-\sqrt{11}$，$\frac{2}{\sqrt{n + 2}+\sqrt{n}}=$$\sqrt{n + 2}-\sqrt{n}$($n$为正整数);
(2)比较大小:$\sqrt{21}-\sqrt{19}$$＜$$\sqrt{19}-\sqrt{17}$;(填“＞”“＜”或“=”)
(3)计算下列式子的结果。
$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+·s+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2023}}$

答案： 23. 【点拨】本题考查二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算。【解析】
(1)$\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}=\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{(\sqrt{13}+\sqrt{11})(\sqrt{13}-\sqrt{11})}=\sqrt{13}-\sqrt{11}$；$\frac{2}{\sqrt{n + 2}+\sqrt{n}}=\frac{2(\sqrt{n + 2}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n + 2}+\sqrt{n})(\sqrt{n + 2}-\sqrt{n})}=\sqrt{n + 2}-\sqrt{n}$。故答案为$\sqrt{13}-\sqrt{11}$，$\sqrt{n + 2}-\sqrt{n}$。
(2)$\because\frac{1}{\sqrt{21}-\sqrt{19}}=\frac{\sqrt{21}+\sqrt{19}}{(\sqrt{21}-\sqrt{19})(\sqrt{21}+\sqrt{19})}=\frac{1}{2}×(\sqrt{21}+\sqrt{19})$，$\frac{1}{\sqrt{19}-\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{19}+\sqrt{17}}{(\sqrt{19}-\sqrt{17})(\sqrt{19}+\sqrt{17})}=\frac{1}{2}×(\sqrt{19}+\sqrt{17})$，且$\sqrt{21}＞\sqrt{17}$，$\therefore\frac{1}{2}×(\sqrt{21}+\sqrt{19})＞\frac{1}{2}×(\sqrt{19}+\sqrt{17})$，$\therefore\frac{1}{\sqrt{21}-\sqrt{19}}＞\frac{1}{\sqrt{19}-\sqrt{17}}$。故答案为$＜$。
(3)$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+·s+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2023}}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}+·s+\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{(\sqrt{2025}+\sqrt{2023})(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})}=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}-1)+\frac{1}{2}×(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\frac{1}{2}×(\sqrt{7}-\sqrt{5})+·s+\frac{1}{2}×(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+·s+\sqrt{2025}-\sqrt{2023})=\frac{1}{2}×(\sqrt{2025}-1)=\frac{\sqrt{2025}-1}{2}$。

24. 右侧扫码·视频讲解 (12分)【问题发现】
(1)如图1所示,将军每天从军营$A$出发,先到河边$l$饮马,再去河岸同侧的军营$B$开会,为了方便,将军给自己制定了方案,找到了饮马的最佳位置,如图2,作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$,连接$AB'$与直线$l$交于点$C$,点$C$就是所求位置。

∵直线$l$是点$B,B'$的对称轴,
$\therefore CB = CB'$,
$\therefore AC + CB = AC + CB'$。
根据“两点之间，线段最短”可得$AC + CB$的最小值是$AB'$;
【问题探究】
(2)如图3,在正方形$ABCD$中,$AB = 8$,$E$是$AB$边上的一点,且$AE = 2$,$F$是$BD$上的一个动点,求$\triangle AEF$周长的最小值;
【问题解决】
(3)如图4,在矩形$ABCD$中,$AB = 120$,$AD = 220$,$P$是$CB$边上一点,且$CP = 100$,$E$是线段$CD$上的任意一点,连接$EP$,以$EP$为直角边在$BC$上方作等腰直角三角形$EPF$,$FE$为斜边。连接$AP$,$AP$边上存在一个点$M$,且$AM = 40\sqrt{2}$,连接$FM$,$\triangle PFM$的周长是否存在最小值?若存在,请求出$\triangle PFM$周长的最小值;若不存在,请说明理由。

答案：
24. 【点拨】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，作出合适的辅助线是解题的关键。【解析】
(1)根据“两点之间，线段最短”可得$AC + CB$的最小值是$AB'$。故答案为两点之间，线段最短。
(2)如图1，连接$CF$，$CE$。

$\because$在正方形$ABCD$中，$AB = 8$，$\therefore BC = AB = 8$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$A,C$关于$BD$对称，$\therefore AF = CF$，$BE = AB - AE = 6$，$\therefore CE = \sqrt{BE^{2}+BC^{2}} = 10$，$\therefore\triangle AEF$周长$= AE + AF + EF = AE + CF + EF\geq AE + CE$。当$E,F,C$三点共线时，$\triangle AEF$的周长最小，最小值为$AE + CE = 2 + 10 = 12$。
(3)存在。如图2，过点$F$作$FG\bot CD$于点$G$，交$AB$于点$K$，作$PH\bot KG$于$H$，交$AD$于点$O$，过点$M$作$MN\bot AD$于点$N$，交$GK$于点$Q$，连接$PN$，$NF$。

在矩形$ABCD$中，$AB = 120$，$AD = 220$，$\therefore\angle BAD = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$，$BC = AD = 220$。又$\because CP = 100$，$\therefore BP = BC - CP = 120$，$\therefore AP = \sqrt{AB^{2}+BP^{2}} = 120\sqrt{2}$。又$\because AM = 40\sqrt{2}$，$\therefore PM = AP - AM = 80\sqrt{2}$。$\because PH\bot KG$，$FG\bot CD$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\angle HPC = 90^{\circ}$，$\angle DGH = 90^{\circ}$。又$\because\triangle EPF$是等腰直角三角形，$\therefore EP = FP$，$\angle EPF = 90^{\circ}$，$\therefore\angle FPH = \angle EPC = 90^{\circ}-\angle HPE$。又$\because\angle PHF = \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle PHF\cong\triangle PCE( AAS)$，$\therefore PH = PC = 100$。易得$PO = CD = 120$，$\angle PON = 90^{\circ}$，$OD = PC = 100$，$\therefore OH = PO - PH = 20$。易得$NQ = OH = 20$。$\because AB = BP$，$\angle B = 90^{\circ}$，$\therefore\angle BAP = 45^{\circ}$，$\therefore\angle PAO = 45^{\circ}$，$\therefore\triangle AMN$是等腰直角三角形，$\therefore AN = MN$，$\therefore MN^{2}+AN^{2}=2MN^{2}=AM^{2}=(40\sqrt{2})^{2}$，$\therefore MN = AN = 40$，$\therefore MQ = MN - NQ = 20 = NQ$，$NO = AD - AN - OD = 80$，$\therefore FQ$垂直平分$MN$，$\therefore MF = NF$，$\therefore PF + MF = PF + NF\geq PN$，$\therefore$当$P,F,N$三点共线时，$PF + MF$最小，最小值为$PN = \sqrt{PO^{2}+NO^{2}} = 40\sqrt{13}$。又$\because\triangle PMF$的周长为$PM + MF + PF = PM + NF + PF$，$\therefore\triangle PMF$的周长的最小值为$80\sqrt{2}+40\sqrt{13}$。