《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

25. 右侧扫码·视频讲解 (12分)我们规定:如图,点$H$在直线$MN$上,点$P$和点$P'$均在直线$MN$的同侧,如果$HP = HP'$,$\angle PHM = \angle P'HN$,点$P'$就是点$P$关于直线$MN$的“反射点”,其中点$H$为“$V$点”,连接$PP'$,称$\triangle PHP'$为“反$V$三角形”。在平面直角坐标系$xOy$中:
(1)如果点$P(0,4)$,“$V$点”$H(2,0)$,那么点$P$关于$x$轴的反射点$P'$的坐标为$\boldsymbol{$(4,4)$}$;
(2)已知点$A(0,a)$,过点$A$作平行于$x$轴的直线$l$。如果点$B(5,3)$关于直线$l$的反射点$B'$和“$V$点”都在直线$y = -x + 4$上,求点$B'$的坐标和$a$的值;
(3)如果点$P$为直线$y = 2x - 4$上一点,点$P$关于直线$y = 2$的反射点为$P'$,点$H$为“$V$点”,如果反$V \triangle PHP'$为直角三角形,且面积为$8$,求反射点$P'$的坐标。

答案：
25.[点拨]本题考查对称的性质，一次函数的应用，一元二次方程的应用，直角三角形的性质和面积计算，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键。
[解析]
(1)如果点$P(0,4)$，$H(2,0)$，
$\because$点$P$关于$x$轴的反射点为$P^{\prime}$，
$\therefore$点$P$与点$P^{\prime}$关于直线$x = 2$对称，点$H$为“$V$点”，
$\therefore P^{\prime}(4,4)$。故答案为$(4,4)$。
(2)如图1，$\because$点$B$和点$B^{\prime}$的纵坐标相同，
将$y = 3$代入$y = - x + 4$得$x = 1$，
$\therefore$点$B$的反射点$B^{\prime}(1,3)$。
$\because A(0,a)$，$\therefore$设点$B$关于直线$l$的“$V$点”为$H(b,a)$，
则点$B^{\prime}$与点$B$关于直线$x = b$对称，
$\therefore b = \frac{1 + 5}{2} = 3$。
$\because$点$(b,a)$在直线$y = - x + 4$上，
$\therefore a = - b + 4 = - 3 + 4 = 1$。

(3)设点$P$的坐标为$(m,2m - 4)$，
$\because$点$P$关于直线$y = 2$的反射点为$P^{\prime}$，“$V$点”为$H$，
$\therefore PH = P^{\prime}H$。
又$\because$三角形$PHP^{\prime}$为直角三角形，$\therefore \angle P^{\prime}HP = 90^{\circ}$。
如图2，过点$H$作$HM \perp PP^{\prime}$于点$M$，
则点$M$纵坐标为$2m - 4$，点$H$的纵坐标为$2$，
则$HM = PM = P^{\prime}M = \frac{1}{2}PP^{\prime} = |2m - 4 - 2| = |2m - 6|$，
$\therefore PP^{\prime} = 2|2m - 6|$。又$\because S_{\triangle PHP^{\prime}} = \frac{1}{2}PP^{\prime} · HM = 8$，
$\therefore \frac{1}{2} × 2 × |2m - 6|^{2} = 8$，
解得$m = 3 + \sqrt{2}$；$m = 3 - \sqrt{2}$；
$\therefore |2m - 6| = 2\sqrt{2}$，$\therefore PP^{\prime} = 2|2m - 6| = 4\sqrt{2}$。
当$m = 3 + \sqrt{2}$时，$P(3 + \sqrt{2},2 + 2\sqrt{2})$，
则$P^{\prime}(3 + \sqrt{2} + 4\sqrt{2},2 + 2\sqrt{2})$，即$P^{\prime}(3 + 5\sqrt{2},2 + 2\sqrt{2})$，
$P^{\prime\prime}(3 + \sqrt{2} - 4\sqrt{2},2 + 2\sqrt{2})$，即$P^{\prime\prime}(3 - 3\sqrt{2},2 + 2\sqrt{2})$；
当$m = 3 - \sqrt{2}$时，$P(3 - \sqrt{2},2 - 2\sqrt{2})$，
$P^{\prime}(3 - \sqrt{2} + 4\sqrt{2},2 - 2\sqrt{2})$，即$P^{\prime}(3 + 3\sqrt{2},2 - 2\sqrt{2})$，
$P^{\prime\prime}(3 - \sqrt{2} - 4\sqrt{2},2 - 2\sqrt{2})$，即$P^{\prime\prime}(3 - 5\sqrt{2},2 - 2\sqrt{2})$。
综上所述，共有4个点$P^{\prime}$，坐标分别为$(3 + 5\sqrt{2},2 + 2\sqrt{2})$，$(3 - 3\sqrt{2},2 + 2\sqrt{2})$，$(3 + 3\sqrt{2},2 - 2\sqrt{2})$，$(3 - 5\sqrt{2},2 - 2\sqrt{2})$。