《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

21. (6分) 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 13$,$AC = 15$,$D$为边$BC$上的一点,$AD = 12$,$BD = 5$。
(1) 求证:$AD \perp BC$;
(2) 求$\triangle ABC$的面积。

答案： 21.[点拨]本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键。
[解析]
(1)证明:$\because AD = 12$，$BD = 5$，$AB = 13$，$\therefore AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+5^{2}=169$，$AB^{2}=13^{2}=169$，$\therefore AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，$\therefore \triangle ABD$是直角三角形，$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$，$\therefore AD \perp BC$。
(2)$\because AD \perp BC$，$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$。$\because AD = 12$，$AC = 15$，$\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}} = 9$，$\therefore BC = BD + CD = 5 + 9 = 14$，$\therefore \triangle ABC$的面积$=\frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{2}×14×12 = 84$。