《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

24. 右侧扫码·视频讲解 (12分) 如图1,在平面直角坐标系中,直线$y = -\frac{3}{4}x - 3$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,点$C$与点$B$关于$x$轴对称,连接$AC$。
(1) 点$C$的坐标是$(0,3)$;
(2) 在$x$轴上是否存在一点$D$,使得$\triangle ACD$是等腰三角形,若存在,求出点$D$的坐标,若不存在,说明理由;
(3) 如图2,直线$x = a$($a \neq -4$)交直线$AC$于点$E$、交直线$AB$于点$F$,$Q$为$y$轴上的一个动点,若$\triangle QEF$为等腰直角三角形,请直接写出$a$的值。

答案：
24.[点拨]本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质等，运用分类讨论思想是解题关键。
[解析]
(1)$\because$直线$y = -\frac{3}{4}x - 3$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，$\therefore A(-4,0)$，$B(0,-3)$。$\because$点$C$与点$B$关于$x$轴对称，$\therefore$点$C$的坐标是$(0,3)$，故答案为$(0,3)$。
(2)存在，设$D(x,0)$，则$AC^{2}=OA^{2}+OC^{2}=4^{2}+3^{2}=25$，$AD^{2}=(x + 4)^{2}$，$CD^{2}=OC^{2}+OD^{2}=9 + x^{2}$，$\because \triangle ACD$是等腰三角形，$\therefore AD = AC$或$CD = AC$或$AD = CD$，当$AD = AC$时，$AD^{2}=AC^{2}$，$\therefore (x + 4)^{2}=25$，解得$x = 1$或$x = - 9$，$\therefore D(1,0)$或$(-9,0)$；当$CD = AC$时，$CD^{2}=AC^{2}$，$\therefore 9 + x^{2}=25$，解得$x = 4$或$x = - 4$(舍去)，$\therefore D(4,0)$；当$AD = CD$时，$AD^{2}=CD^{2}$，$\therefore (x + 4)^{2}=9 + x^{2}$，解得$x = -\frac{7}{8}$，$\therefore D(-\frac{7}{8},0)$。综上所述，点$D$坐标为$(1,0)$或$(-9,0)$或$(4,0)$或$(-\frac{7}{8},0)$。
(3)设直线$AC$的解析式为$y = kx + b$，把$A(-4,0)$，$C(0,3)$代入，得$\begin{cases} - 4k + b = 0 \\ b = 3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = \frac{3}{4} \\ b = 3 \end{cases}$，$\therefore$直线$AC$的解析式为$y=\frac{3}{4}x + 3$。$\because$直线$x = a(a \neq - 4)$交直线$AC$于点$E$、交直线$AB$于点$F$，$\therefore E(a,\frac{3}{4}a + 3)$，$F(a,-\frac{3}{4}a - 3)$，$\therefore EF=|\frac{3}{4}a + 3-(-\frac{3}{4}a - 3)|=|\frac{3}{2}a + 6|$，当$a＜0$且$\angle EFQ = 90^{\circ}$时，$EF = FQ$，如图1。

$\therefore |\frac{3}{2}a + 6|=-a$，解得$a = -\frac{12}{5}$或$a = - 12$；
当$a＜0$且$\angle EQF = 90^{\circ}$时，$EQ = FQ$，如图3。

设$QH \perp EF$于点$H$，$\because \triangle QEF$为等腰直角三角形，$\therefore EF = 2QH$，即$|\frac{3}{2}a + 6|=-2a$，解得$a = -\frac{12}{7}$或$a = 12$(舍去)；
当$a＞0$时，点$E$在点$F$上方，$EF=\frac{3}{2}a + 6$，当$a＞0$且$\angle FEQ = 90^{\circ}$时，$EF = EQ$，如图4。

同理可得此时不能构成等腰直角三角形；当$a＞0$且$\angle EFQ = 90^{\circ}$时，$EF = FQ$，同理可得此时不能构成等腰直角三角形；当$a＞0$且$\angle EQF = 90^{\circ}$时，$EQ = FQ$，如图5。设$QH \perp EF$于点$H$，$\therefore EF = 2QH$，则$\frac{3}{2}a + 6 = 2a$，解得$a = 12$。综上所述，$a$的值为$-\frac{12}{5}$或$-\frac{12}{7}$或$12$或$-12$。