《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

7. 关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2ax + 3y = 18, \\ -x + 5by = 17 \end{cases}$(其中$a,b$是常数)的解为$\begin{cases} x = 3, \\ y = 4, \end{cases}$则方程组$\begin{cases}2a(x + y) + 3(x - y) = 18, \\ (x + y) - 5b(x - y) = -17 \end{cases}$的解
为(C)。

A.$\begin{cases}x = 3, \\ y = 4 \end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 7, \\ y = -1 \end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 3.5, \\ y = -0.5 \end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3.5, \\ y = 0.5 \end{cases}$

答案： 7. C【点拨】本题考查解二元一次方程组与整体代入的思想。
【解析】由题意知$\begin{cases}x + y = 3, &①\\ x - y = 4, &② \end{cases}① + ②，$得2x = 7，解得x = 3.5，① - ②，得2y = -1，解得y = -0.5，
∴方程组的解为$\begin{cases}x = 3.5, \\ y = -0.5. \end{cases}$故选C。

8. 右侧扫码·视频讲解 令实数$a,b,c$的最小值为$\min\{a,b,c\}$,已知$f(x) = \min\{4x + 1,x + 2,-2x + 4\}$,若$f(x)$的最大值为$M$,则$6M$的值是(C)。

A.$12$
B.$14$
C.$16$
D.$18$

答案： 8. C【点拨】本题考查一次函数与二元一次方程组，解二元一次方程组。
【解析】令$y_1 = 4x + 1，$$y_2 = x + 2，$$y_3 = -2x + 4。$联立方程可求得直线$y_1 = 4x + 1$与直线$y_2 = x + 2$的交点的横、纵坐标为$\begin{cases}x = \frac{1}{3}, \\ y = \frac{7}{3}; \end{cases}$
直线$y_1 = 4x + 1$与$y_3 = -2x + 4$的交点的横、纵坐标为$\begin{cases}x = \frac{1}{2}, \\ y = 3; \end{cases}$
直线$y_2 = x + 2$与$y_3 = -2x + 4$的交点的横、纵坐标为$\begin{cases}x = \frac{2}{3}, \\ y = \frac{8}{3}; \end{cases}$
当$x ≤ \frac{1}{3}$时，$f(x) ≤ \frac{7}{3}；$当$\frac{1}{3} $＜ x ≤ \frac{1}{2}时，\frac{7}{3} ＜ f(x) ≤ \frac{5}{2}；当\frac{1}{2} ＜ x ≤ \frac{2}{3}时，\frac{5}{2} ＜ f(x) ≤ \frac{8}{3}；当x ＞$ \frac{2}{3}$时，$f(x) ＜ \frac{8}{3}。$
∴f(x)的最大值M为$\frac{8}{3}，$
∴6M = 16。故选C。

9. 若函数$y = (k - 2)x^{|k - 1|} + 4k - 3$是一次函数,则$k$的值为0。

答案： 9. 0【点拨】本题考查一次函数的定义。
【解析】
∵函数$y = (k - 2)x^{|k - 1|} + 4k - 3$是一次函数，
∴|k - 1| = 1且k - 2 ≠ 0，解得k = 0。故答案为0。

10. 《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,问木长多少尺. 设木长为$x$尺,绳子长为$y$尺,则符合题意的方程组是。

答案： $10.\begin{cases}y - x = 4.5, \\ \frac{1}{2}y + 1 = x。$$ \end{cases}【$点拨】本题考查二元一次方程组的应用。
【解析】根据题意得$\begin{cases}y - x = 4.5, \\ \frac{1}{2}y + 1 = x。$$ \end{cases}$故答案为$\begin{cases}y - x = 4.5, \\ \frac{1}{2}y + 1 = x。$$ \end{cases}$

11. 右侧扫码·视频讲解 若直线$y = kx + b$向上平移3个单位长度后与直线$y = 2x + 1$关于$x$轴对称,则该直线的表达式为y = -2x - 4

答案： 11.y = -2x - 4【点拨】本题考查函数图象的平移及求直线表达式。
【解析】直线y = kx + b向上平移3个单位长度后得直线y = kx + b + 3。
∵直线y = kx + b + 3与直线y = 2x + 1关于x轴对称，
∴b + 3 = -1且k = -2，
∴b = -4，
∴该直线的表达式为y = -2x - 4。故答案为y = -2x - 4。

12. 关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 3, \\2x + ky = 10\end{cases}$的解是正整数,则整数$k$的值是 ______ 。

答案： 12. 4或6【点拨】本题考查二元一次方程组的解。
【解析】
∵x + y = 3，
∴y = 3 - x，x = 3 - y，将其分别代入2x + ky = 10，得2(3 - y) + ky = 10，2x + k(3 - x) = 10，
∴$x = \frac{10 - 3k}{2 - k}，$$y = \frac{k - 4}{k - 2}。$
∵y是正整数，
∴k - 2 = 1,2,4，
∴k = 3,4,6。又
∵x也是正整数，
∴k = 4,6。故答案为4或6。

13. 右侧扫码·视频讲解 如图,在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点,$A(5,0)$,点$B$在$y$轴上运动,以$AB$为边作等腰$Rt\triangle ABC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$(点$A,B,C$呈顺时针
排列),当点$B$在$y$轴上运动时,点$C$也随之运动. 在点$C$的运动过程中,
$OC + AC$的最小值为$5\sqrt{5}$。

答案：
$13. 5\sqrt{5}【$点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理及两点之间线段最短。
【解析】如图，过点A作直线l⊥x轴，分别过点C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E。

∵∠DCA + ∠CAD = 90°，∠EAB + ∠CAD = 180° - 90° = 90°，
∴∠DCA = ∠EAB。
又
∵∠CDA = ∠AEB = 90°，AB = CA，
∴△CDA ≌ △AEB(AAS)，
∴BE = AD。
∵A(5,0)，
∴AD = BE = OA = 5。作点A关于CD的对称点A'，连接CA'，OA'，则点A'在直线l上，DA' = DA，CA' = AC，
∴OC + AC = OC + CA'。
∵OC + CA' ≥ OA'，
∴当O，C，A'三点共线时，OC + AC取最小值OA'。$OA' = \sqrt{OA^2 + AA'^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = 5\sqrt{5}，$
∴OC + AC的最小值为$5\sqrt{5}。$
故答案为$5\sqrt{5}。$

14. (16分)解方程组。
(1)用代入消元法解方程组:$\begin{cases}x + y = 8, \\5x + 3y = 34; \end{cases}$
(2)用加减消元法解方程组:$\begin{cases}3(x - 1) = y + 5, \\5(y - 1) = 3(x + 5); \end{cases}$
(3)解方程组:$\begin{cases}\frac{x + y}{3} - \frac{x - y}{2} = 1, \\2(x + y) + 3(x - y) = 18; \end{cases}$
(4)解方程组:$\begin{cases}x + 3y + 2z = 3, \\2x - 3y - z = -2, \\4x + 3y - 3z = -2. \end{cases}$

答案： 14.【点拨】本题考查解二元一次方程组及三元一次方程组。
【解析$】(1)\begin{cases}x + y = 8, &①\\ 5x + 3y = 34。$$ &② \end{cases}$
由①，得y = 8 - x。③
把③代入②，得5x + 3(8 - x) = 34，
即2x + 24 = 34，解得x = 5，则y = 8 - 5 = 3。
故方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\ y = 3。$$ \end{cases}$
(2)方程组整理得$\begin{cases}3x - y = 8, &①\\ 5y - 3x = 20。$$ &② \end{cases}$
① + ②，得4y = 28，解得y = 7。
把y = 7代入①，得3x - 7 = 8，解得x = 5，
故方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\ y = 7。$$ \end{cases}$
(3)设x + y = m，x - y = n，则原方程组可化为$\begin{cases}\frac{m}{3} - \frac{n}{2} = 1, &①\\ 2m + 3n = 18。$$ &② \end{cases}$
由①，得2m - 3n = 6。③
② + ③，得4m = 24，解得m = 6。
把m = 6代入②，得12 + 3n = 18，解得n = 2，
所以$\begin{cases}x + y = 6, &④\\ x - y = 2。$$ &⑤ \end{cases}$
把x = 4代入④，得4 + y = 6，解得y = 2。
故原方程组的解为$\begin{cases}x = 4, \\ y = 2。$$ \end{cases}$
$(4)\begin{cases}x + 3y + 2z = 3, &①\\ 2x - 3y - z = -2, &②\\ 4x + 3y - 3z = -2。$$ &③ \end{cases}$
① + ②，得3x + z = 1，④
(② + ③) ÷ 2，得3x - 2z = -2，⑤
④与⑤组成方程组$\begin{cases}3x + z = 1, \\ 3x - 2z = -2, \end{cases}$解得$\begin{cases}x = 0, \\ z = 1。$$ \end{cases}$
把$\begin{cases}x = 0, \\ z = 1。$$ \end{cases}$代入①，得0 + 3y + 2 = 3，解得$y = \frac{1}{3}，$
故方程组的解为$\begin{cases}x = 0, \\ y = \frac{1}{3}, \\ z = 1。$$ \end{cases}$