《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

24. 右侧扫码·视频讲解 (10分)某学校组织春游，租用甲、乙两辆大巴车，从学校出发，去距离学校360km的某风景区，甲车先出发，一段时间后乙车再出发，两车在同一条笔直的路上匀速行驶，乙车超过甲车后不久出现故障，停车检修，当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以各自原来的速度继续行驶，如图是甲、乙两车行驶的路程$y$(单位：km)与甲车行驶时间$x$(单位：h)之间的函数图象。

(1)$a =$300，乙车的速度是100$km/h$；
(2)求线段$BC$所在直线的函数解析式；
(3)直接写出乙车出现故障前与甲车相距50km时$x$的值。

答案： 24.【点拨】本题考查一次函数在行程问题中的应用，正确求出函数解析式是解题的关键。
【解析】$(1)$由题图得，甲的函数图象是线段$OF$，可设$y = kx(k\neq0)$，$\because y = kx(k\neq0)$经过$(6,360)$，$\therefore6k = 360$，解得$k = 60$，$\therefore y = 60x$，当$x = 5$时，$a = 60×5 = 300$，乙的速度为$\frac{360 - 300}{5.6 - 5}=100(km/h)$。故答案为$300$，$100$。
$(2)$当$y = 60$时，即$60x = 60$，解得$x = 1$，$\therefore B(1,0)$，乙到$C$点时行驶的时间为$300÷100 = 3(h)$，$3 + 1 = 4(h)$，$\therefore C(4,300)$。设$BC$段的函数解析式$y = k_{1}x + b(k_{1}\neq0)$，则有$\begin{cases}k_{1}+b = 0\\4k_{1}+b = 300\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_{1}=100\\b=-100\end{cases}$，$\therefore BC$段的函数解析式为$y = 100x - 100(1\leq x\leq4)$。
$(3)$由$(1)$知甲车行驶的路程$y$(单位：$km$)与甲车行驶时间$x$(单位：$h$)之间的函数解析式为$y = 60x$，由$(2)$知乙车行驶的路程$y$(单位：$km$)与甲车行驶时间$x$(单位：$h$)之间的函数解析式为$y = 100x - 100(1\leq x\leq4)$，当$50 = 60x$，解得$x=\frac{5}{6}$，此时乙车还没出发，甲、乙两车相距$50km$；当乙车开始走时，由题图知此时甲、乙两车相距$60km$，乙车开始走之后，未超过甲车之前，$60x-(100x - 100)=50$，解得$x=\frac{5}{4}$；当乙车超过甲车后，在出故障前，$(100x - 100)-60x = 50$，解得$x=\frac{15}{4}$。
综上所述，乙车出现故障前与甲车相距$50km$时，$x$为$\frac{5}{6}$或$\frac{5}{4}$或$\frac{15}{4}$。

25. 右侧扫码·视频讲解 (12分)【模型构建】
如图1，将含有$45°$的三角板的直角顶点放在直线$l$上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”模型，此模型在数学解题中被广泛使用。
【模型应用】


(1)如图2，在平面直角坐标系中，直线$y = x - 6$与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点。
①则点$A$的坐标为(6,0)，点$B$的坐标为(0,-6)；
②$C,D$是正比例函数$y = kx$图象上的两个动点，连接$AD,BC$，若$BC \perp CD$，$BC = 4$，则$AD$的最小值是2√5；
(2)如图3，一次函数$y = -2x + 4$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$B,A$两点，将直线$AB$绕点$A$逆时针旋转$45°$得到直线$l$，求直线$l$对应的函数表达式；
【模型拓展】
(3)如图4，直线$y = -2x + 3$与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点，直线$l:y = -2$与$y$轴交于点$D$。点$P(n,-2)$，$Q$分别是直线$l$和直线$AB$上的动点，点$C$的坐标为$(3,0)$，当$\triangle PQC$是以$CQ$为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点$Q$的坐标。

答案：
25.【点拨】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解题的关键。
【解析】$(1)①$当$x = 0$时，$y = -6$；当$y = 0$时，由$x - 6 = 0$，得$x = 6$，$\therefore$点$A$的坐标为$(6,0)$，点$B$的坐标为$(0,-6)$。故答案为$(6,0)$，$(0,-6)$。
$②$如图1，过点$A$作$AD'\perp CD$，$\because BC\perp CD$，$\therefore \angle BCO=\angle ODA' = 90^{\circ}$，

$\therefore \angle OBC+\angle BOC=\angle BOC+\angle AOD' = 90^{\circ}$，$\therefore \angle OBC=\angle AOD'$。$\because$点$A$的坐标为$(6,0)$，点$B$的坐标为$(0,-6)$，$\therefore OB = OA = 6$，$\therefore \triangle BOC\cong \triangle OAD'(AAS)$，$\therefore BC = OD' = 4$。在$Rt\triangle OAD'$中，$AD'=\sqrt{OA^{2}-OD'^{2}}=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=2\sqrt{5}$，$\because C$，$D$是正比例函数$y = kx$图象上的两个动点，$\therefore$根据垂线段最短，得$AD$的最小值是$AD'$的长，故$AD$的最小值是$2\sqrt{5}$。故答案为$2\sqrt{5}$。
$(2)$如图2，过点$B$作$BC\perp BA$交直线$l$于点$C$，过点$C$作$CD\perp x$轴于点$D$，则$\angle OAB+\angle OBA=\angle OBA+\angle DBC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle OAB=\angle DBC$。$\because$直线$AB$绕点$A$逆时针旋转$45^{\circ}$得到直线$l$，$\therefore \angle BAC = 45^{\circ}$，$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形，则$AB = BC$，$\therefore \triangle AOB\cong \triangle BDC(AAS)$，$\therefore OA = BD$，$OB = CD$。当$x = 0$时，$y = 4$，当$y = 0$时，由$-2x + 4 = 0$，得$x = 2$，$\therefore A(0,4)$，$B(2,0)$，$\therefore OA = 4$，$OB = 2$，$\therefore CD = 2$，$OD = OB + BD = 2 + 4 = 6$，$\therefore C(6,2)$。设直线$l$对应的函数表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，将$A(0,4)$，$C(6,2)$代入，得$\begin{cases}6k + b = 2\\b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3}\\b = 4\end{cases}$，$\therefore$直线$l$对应的函数表达式为$y = -\frac{1}{3}x + 4$。

$(3)$根据题意，当$n＜3$时，如图3，过点$P$作$PS\perp x$轴于点$S$，过点$Q$作$QT\perp SP$，交$SP$的延长线于点$T$，$\therefore \angle CSP=\angle PTQ = 90^{\circ}$，$\therefore \angle2+\angle3 = 90^{\circ}$。$\because \angle CPQ = 90^{\circ}$，$\therefore \angle1+\angle2 = 90^{\circ}$，$\therefore \angle1=\angle3$。又$\because PC = PQ$，$\angle CSP=\angle PTQ = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle PCS\cong \triangle QPT(AAS)$，$\therefore QT = PS = 2$，$PT = SC = 3 - n$，$\therefore ST = 5 - n$，$\therefore$点$Q$的坐标为$(2 + n,n - 5)$。将点$Q$的坐标代入$y = -2x + 3$，得$n - 5=-2(2 + n)+3$，解得$n=\frac{4}{3}$，$\therefore2 + n=\frac{10}{3}$，$n - 5=-\frac{11}{3}$，$\therefore$点$Q$的坐标为$(\frac{10}{3},-\frac{11}{3})$；

当$n＞3$时，如图4，过点$P$作$PS\perp x$轴于点$S$，过点$Q$作$QT\perp SP$，交$SP$的延长线于点$T$，$\because \angle CSP=\angle PTQ = 90^{\circ}$，$\therefore \angle1+\angle3 = 90^{\circ}$。又$\because PC = PQ$，$\angle CSP=\angle PTQ = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle PCS\cong \triangle QPT(AAS)$，$\therefore QT = PS = 2$，$PT = SC = n - 3$，$\therefore ST = n - 1$，$\therefore$点$Q$的坐标为$(n - 2,1 - n)$。将点$Q$的坐标代入$y = -2x + 3$，得$1 - n=-2(n - 2)+3$，解得$n = 6$，$\therefore$点$Q$的坐标为$(4,-5)$。

综上所述，点$Q$的坐标为$(\frac{10}{3},-\frac{11}{3})$或$(4,-5)$。