《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

8. 命题“对顶角相等”的条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等。

答案： 8. 两个角是对顶角 这两个角相等【点拨】本题考查命题的题设和结论。
【解析】根据题意，得命题“对顶角相等”的题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等。故答案为两个角是对顶角，这两个角相等。

9. 将直线$ y = -x + 1 $向左平移$ m(m \gt 0) $个单位长度后，经过点$ (1, -3) $，则$ m $的值为3。

答案： 9. 3【点拨】本题考查一次函数图象的平移。
【解析】将一次函数$y = -x + 1$的图象向左平移$m(m＞0)$个单位长度后得到$y = -(x + m) + 1$，把$(1,-3)$代入，得$-3 = -(1 + m) + 1$，解得$m = 3$。故答案为3。

10. 右侧扫码·视频讲解 如图，一次函数$ y = kx + b $与$ y = x + 2 $的图象相交于点$ P(m, 4) $，则方程组$ \begin{cases}y = x + 2 \\ y = kx + b\end{cases}$的解是 ______ 。

答案： 10. $\begin{cases} x = 2, \\ y = 4 \end{cases}$【点拨】本题考查一次函数图象与二元一次方程组解的关系。
【解析】$\because$一次函数$y = kx + b$与$y = x + 2$的图象相交于点$P(m,4)$，$\therefore m + 2 = 4$，解得$m = 2$，$\therefore P(2,4)$，$\therefore\begin{cases} y = x + 2, \\ y = kx + b \end{cases}$的解是$\begin{cases} x = 2, \\ y = 4 \end{cases}$。故答案为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 4 \end{cases}$。

11. 右侧扫码·视频讲解 如图，在正方形$ ABCD $中，$ G $是$ BC $边上一定点，$ E $，$ F $，$ H $分别是边$ AD $，$ AB $，$ CD $上的动点，若$ CG = \frac{1}{4}BC = 1 $，则四边形$ EFGH $的周长最小时，$ GF $的长为$3\sqrt{2}$。

答案：
11. $3\sqrt{2}$【点拨】本题考查轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【解析】如图，作点G关于CD的对称点$G_{1}$，作点$G_{1}$关于AD的对称点$G_{2}$，作点G关于AB的对称点$G_{3}$，连接$G_{2}G_{3}$交AB于点F，交AD于点E，连接$EG_{1}$交CD于点H。由对称的性质知，$GH = G_{1}H$，$HG + EH = G_{1}H + EH\geq EG_{1}$。当E、H、$G_{1}$三点共线时，$HG + EH = EG_{1}$的值最小，同理可得$GH + EH + EF + FG\geq G_{2}G_{3}$，当$G_{2}$、E、F、$G_{3}$四点共线时，$GH + EH + EF + FG = G_{2}G_{3}$的值最小。$\because CG = \frac{1}{4}BC = 1$，四边形ABCD是正方形，$\therefore BC = CD = 4$，$\angle BCD = 90^{\circ}$。由对称的性质知，$CG_{1} = CG = 1$，$BG_{3} = BG = 3$，$G_{1}G_{3} = 8$，$G_{2}G_{3} = 2CD = 8$，$\angle G_{3}G_{1}G_{2} = 90^{\circ}$，$\therefore \angle G_{3} = \angle G_{2} = 45^{\circ}$。$\because FG = FG_{3}$，$\therefore \triangle FGG_{3}$是等腰直角三角形，$\therefore BF = BG = 3$，$\therefore GF = \sqrt{BF^{2} + BG^{2}} = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3\sqrt{2}$。故答案为$3\sqrt{2}$。

12. （12分）计算。
（1）$ \sqrt{27} - \sqrt{\frac{1}{3}} + 2\sqrt{18} $；
（2）$ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{10}}{\sqrt{5}} - (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) $。

答案： 12. 【点拨】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式。
【解析】
(1)$\sqrt{27} - \sqrt{\frac{1}{3}} + 2\sqrt{18} = 3\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} + 6\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{3}}{3} + 6\sqrt{2}$。
(2)$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{10}}{\sqrt{5}} - (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 1 + \sqrt{2} - (2 - 1) = 1 + \sqrt{2} - 2 + 1 = \sqrt{2}$。

13. （12分）解方程组。
（1）$ \begin{cases} 2x + 4y = 9 \\ x = 2 - y \end{cases} $；
（2）$ \begin{cases} \frac{x + 5}{3} - \frac{y}{2} = 1 \\ y + 3x = 5 \end{cases} $。

答案： 13. 【点拨】本题考查解二元一次方程组。
【解析】
(1)$\begin{cases} 2x + 4y = 9,① \\ x = 2 - y。 ② \end{cases}$把②代入①，得$2(2 - y) + 4y = 9$，解得$y = 2.5$。把$y = 2.5$代入②，得$x = -0.5$，故原方程组的解是$\begin{cases} x = -0.5, \\ y = 2.5 \end{cases}$。
(2)原方程组化简，得$\begin{cases} 3y - 2x = 4,① \\ y + 3x = 5。 ② \end{cases}$②$×3 -$①，得$11x = 11$，解得$x = 1$。将$x = 1$代入②，得$y + 3 = 5$，解得$y = 2$。故原方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$。