《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

18. (5分)(1)在图中画出三边的长分别为$\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt{17}$的$\triangle ABC$;(网格内小正方形边长为1)
(2)该三角形的面积为$\frac{7}{2}$。

答案：
18. 【点拨】本题考查作图——网格作图，勾股定理，三角形的面积。【解析】
(1)如图，$\triangle ABC$即为所求。

(2)$S_{\triangle ABC}=4×2-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×4=\frac{7}{2}$。故答案为$\frac{7}{2}$。

19. (6分)已知$4a - 11$的平方根是$\pm3$,$3a + b - 2$的平方根等于它本身,$c$是$\sqrt{20}$的整数部分。
(1)求$a,b,c$的值;
(2)求$-2a + b - c$的立方根。

答案： 19. 【点拨】本题考查平方根与立方根的定义，估算无理数的大小。【解析】
(1)$\because4a - 11$的平方根是$\pm3$，$3a + b - 2$的平方根等于它本身，$\therefore4a - 11 = 9$，$3a + b - 2 = 0$，$\therefore a = 5$，$b = - 13$。$\because16＜20＜25$，$\therefore4＜\sqrt{20}＜5$，$\therefore c = 4$。
(2)$\because a = 5$，$b = - 13$，$c = 4$，$\therefore - 2a + b - c = - 2×5 - 13 - 4 = - 27$。$\because - 27$的立方根是$-3$，$\therefore - 2a + b - c$的立方根是$-3$。

20. (6分)如图,学校有一块四边形的空地$ABCD$,为了绿化环境,学校计划在空地上种植草皮,经测量,$AB = 8 m$,$BC = 6 m$,$CD = 26 m$,$AD = 24 m$且$AB\bot BC$,种植每平方米草皮需要50元,该学校在四边形$ABCD$内种植草皮需要多少元?

答案：
20. 【点拨】本题考查勾股定理的应用，勾股定理的逆定理以及三角形面积。【解析】如图，连接$AC$，

$\because AB\bot BC$，$\therefore\angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = \sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10( m)$。$\because CD = 26 m$，$AD = 24 m$，$10^{2}+24^{2} = 26^{2}$，$\therefore AC^{2}+AD^{2} = CD^{2}$，$\therefore\triangle ACD$是直角三角形，且$\angle CAD = 90^{\circ}$，$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC· AD-\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×10×24-\frac{1}{2}×8×6 = 96( m^{2})$，$\therefore$种植草皮需要$96×50 = 4800( 元)$。故该学校在四边形$ABCD$内种植草皮需要$4800$元。

21. (7分)如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$是等腰直角三角形,$\angle CAB = 90^{\circ}$,点$A(0,5)$,$B(3,0)$,求点$C$的坐标。

答案： 21. 【点拨】本题考查勾股定理，坐标与图形，等腰直角三角形的性质。【解析】如题图，过点$C$作$CD\bot OA$于点$D$。$\because A(0,5)$，$B(3,0)$，$\therefore OA = 5$，$OB = 3$。$\because\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\therefore AC = AB$，$\angle CAB = 90^{\circ}$。$\because\angle AOB = 90^{\circ}$，$CD\bot OA$，$\therefore\angle ADC = 90^{\circ}=\angle AOB$，$\angle OAB = 90^{\circ}-\angle CAD = \angle DCA$，$\therefore\triangle OAB\cong\triangle DCA( AAS)$，$\therefore CD = OA = 5$，$AD = OB = 3$，$\therefore OD = 5 - 3 = 2$，$\because CD\bot OA$，$\therefore y_{C}=y_{D}=2$，$\therefore$点$C$的坐标为$( - 5,2)$。

22. (8分)如图,$A,B,C$是我国南部的三个岛屿,已知$A,C$两岛的距离为$30\sqrt{2} km$,$A,B$两岛的距离为$70 km$,$B,C$两岛的距离为$50 km$。某日超强台风“摩羯”登陆岛屿$B$,台风中心由$B$向$A$移动,风力影响半径为$34 km$。
(1)请判断岛屿$C$是否会受到台风的影响?并说明理由;
(2)若台风影响岛屿$C$的时长是1.6小时,求台风中心的移动速度。

答案：
22. 【点拨】本题考查勾股定理的应用。【解析】
(1)岛屿$C$会受到台风的影响。理由如下：如图，过点$C$作$CD\bot AB$于点$D$。由勾股定理得$AC^{2}-AD^{2}=BC^{2}-BD^{2}$，$\therefore(30\sqrt{2})^{2}-AD^{2}=50^{2}-(70 - AD)^{2}$，解得$AD = 30$，$\therefore BD = 70 - 30 = 40( km)$，$\because30＜34$，$\therefore$岛屿$C$会受到台风的影响。
(2)如图，以点$C$为圆心，$34 km$长为半径画弧与$AB$交于点$E$，$F$，连接$CF$，$CE$，则$EF = 2DE$，

在$ Rt\triangle CDE$中，由勾股定理，得$DE = \sqrt{CE^{2}-CD^{2}} = \sqrt{34^{2}-30^{2}} = 16( km)$，$\therefore EF = 32 km$，$32÷1.6 = 20( km/h)$。答：台风中心的移动速度为$20 km/h$。