《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

23. (7 分)如图,直线$y = x + 3$与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,与经过原点的直线相交于点 C(-2,1)。
(1)直接写出点 B 的坐标为(0,3);
(2)求出$\bigtriangleup OBC$的面积;
(3)在直线 BC 上是否存在点 M,使$S_{\bigtriangleup OBM} = 2S_{\bigtriangleup OBC}$? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。

答案： 23.【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点，三角形的面积。
【解析】
(1)由直线$AB:y=x+3$可知，令$x=0$，则$y=3$，$\therefore B(0,3)$。
故答案为$(0,3)$。
(2)$\because C(-2,1)$，
$\therefore$点$C$到$y$轴的距离是$2$。
$\because B(0,3)$，$\therefore S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}×3×2=3$。
(3)存在。
由
(2)知$\triangle OBC$的面积为$3$，
$\therefore S_{\triangle OBM}=2×3=6$。
设$M(x,x+3)$，
$\because S_{\triangle OBM}=\frac{1}{2}OB·|x_{M}|=\frac{3}{2}|x_{M}|$，
$\therefore\frac{3}{2}|x_{M}|=6$，$\therefore|x_{M}|=4$，
$\therefore x_{M}=4$或$x_{M}=-4$，
代入直线$AB:y=x+3$，得$y_{M}=7$或$y_{M}=-1$。
综上所述，点$M$的坐标为$(4,7)$或$(-4,-1)$。

24. 右侧扫码·视频讲解 (8 分)如图 1,在平面直角坐标系中,直线$y = 2x + 4$与 x 轴,y 轴分别交于点 A,C,经过点 C 的直线与 x 轴交于点 B(4,0),点 D 是直线 AC 上一动点。
(1)求直线 BC 的表达式;
(2)当点 D 在直线 AC 上运动时,存在某时刻,使得$\bigtriangleup DBC$为直角三角形且$\angle CBD = 90^{\circ}$,请求出此时点 D 的坐标;
(3)如图 2,当点 D 运动到线段 AC 的中点时,此时,在直线 BC 上是否存在点 P,使得$\angle DAP = 45^{\circ}$,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。

答案：
24.【点拨】本题考查坐标与图形的性质，待定系数法求函数表达式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。
【解析】
(1)在$y=2x+4$中，令$x=0$，得$y=4$，
$\therefore C(0,4)$。
设直线$BC$的表达式为$y=kx+b(k\neq0)$，
$\begin{cases}4k+b=0,\\b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$
$\therefore$直线$BC$的表达式为$y=-x+4$。
(2)$\because C(0,4)$，$B(4,0)$，
$\therefore BC^{2}=4^{2}+4^{2}=32$。
设点$D$的坐标为$(m,2m+4)$，
$\therefore DC^{2}=m^{2}+(2m+4-4)^{2}=5m^{2}$，$BD^{2}=(m-4)^{2}+(2m+4)^{2}=5m^{2}+8m+32$。
$\because\angle CBD=90^{\circ}$，$\therefore CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}$，
$\therefore5m^{2}=32+5m^{2}+8m+32$，
解得$m=-8$，
$\therefore$点$D$的坐标为$(-8,-12)$。
(3)存在。
令$2x+4=0$，得$x=-2$，
$\therefore A(-2,0)$，$\therefore OA=2$。
$\because D$为$AC$的中点，
$\therefore D(\frac{-2+0}{2},\frac{0+4}{2})$，即$D(-1,2)$。
如图1，当$AP$在$AD$的下方时，过点$D$作$DE\perp OA$于点$E$，作$DF\perp AC$，交$AP$于点$F$，过点$F$作$FG\perp DE$于点$G$。

$\because D(-1,2)$，$\therefore DE=2$，$OE=1$，$\angle ADF=\angle AED=\angle DGF=90^{\circ}$，
$\therefore AE=2-1=1$。
$\because\angle DAP=45^{\circ}$，$\therefore\triangle ADF$为等腰直角三角形，
$\therefore AD=DF$。
$\because\angle DFG+\angle FDG=\angle FDG+\angle ADE=90^{\circ}$，
$\therefore\angle DFG=\angle ADE$，$\therefore\triangle ADE\cong\triangle DFG(AAS)$，
$\therefore FG=DE=2$，$DG=AE=1$，$\therefore F(1,1)$。
设直线$AF$的表达式为$y=k_{1}x+b_{1}(k\neq0)$，
把$A(-2,0)$，$F(1,1)$代入，得$\begin{cases}-2k_{1}+b_{1}=0,\\k_{1}+b_{1}=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_{1}=\frac{1}{3},\\b_{1}=\frac{2}{3},\end{cases}$
$\therefore$直线$AF$的表达式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$。
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3},\\y=-x+4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{5}{2},\\y=\frac{3}{2},\end{cases}$
$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$；
如图2，当$AP$在$AD$的上方时，过点$D$作$DE\perp OA$于点$E$，作$DF\perp AC$，交$AP$于点$F$，过点$F$作$FG\perp DE$，交$ED$的延长线于点$G$。

$\because D(-1,2)$，$\therefore DE=2$，$OE=1$，$\angle ADF=\angle AED=\angle DGF=90^{\circ}$，
$\therefore AE=2-1=1$。
$\because\angle DAP=45^{\circ}$，$\therefore\triangle ADF$为等腰直角三角形，$\therefore AD=DF$。
$\because\angle DFG+\angle FDG=\angle FDG+\angle ADE=90^{\circ}$，
$\therefore\angle DFG=\angle ADE$，
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle DFG(AAS)$，$\therefore FG=DE=2$，$DG=AE=1$，
$\therefore F(-3,3)$。
设直线$AF$的表达式为$y=k_{2}x+b_{2}(k\neq0)$，
把$A(-2,0)$，$F(-3,3)$代入，得$\begin{cases}-2k_{2}+b_{2}=0,\\-3k_{2}+b_{2}=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_{2}=-3,\\b_{2}=-6,\end{cases}$
$\therefore$直线$AF$的表达式为$y=-3x-6$。
联立$\begin{cases}y=-3x-6,\\y=-x+4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-5,\\y=9,\end{cases}$
$\therefore$点$P$的坐标为$(-5,9)$。
综上所述，点$P$的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$或$(-5,9)$。

1. 右侧扫码·视频讲解 (5 分)若一组数据$x_1,x_2,·s,x_n$的方差是 3,则另一组数据$2x_1 + 1,2x_2 + 1,·s,2x_n + 1$的标准差是$2\sqrt{3}$

答案： 选做题1: $2\sqrt{3}$【点拨】本题考查方差和标准差的计算。
【解析】设这组数据$x_{1}$，$x_{2}$，$·s$，$x_{n}$的平均数为$\bar{x}$，则另一组新数据$2x_{1}+1$，$2x_{2}+1$，$2x_{3}+1$，$·s$，$2x_{n}+1$的平均数为$2\bar{x}+1$。$\because s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+(x_{3}-\bar{x})^{2}+·s+(x_{n}-\bar{x})^{2}]=3$，
$\therefore s^{\prime2}=\frac{1}{n}[(2x_{1}+1-2\bar{x}-1)^{2}+(2x_{2}+1-2\bar{x}-1)^{2}+(2x_{3}+1-2\bar{x}-1)^{2}+·s+(2x_{n}+1-2\bar{x}-1)^{2}]=\frac{1}{n}[(2x_{1}-2\bar{x})^{2}+(2x_{2}-2\bar{x})^{2}+(2x_{3}-2\bar{x})^{2}+·s+(2x_{n}-2\bar{x})^{2}]=\frac{1}{n}[4(x_{1}-\bar{x})^{2}+4(x_{2}-\bar{x})^{2}+4(x_{3}-\bar{x})^{2}+·s+4(x_{n}-\bar{x})^{2}]=4s^{2}=4×3=12$，$\therefore2x_{1}+1$，$2x_{2}+1$，$2x_{3}+1$，$·s$，$2x_{n}+1$的标准差是$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。故答案为$2\sqrt{3}$。

2. 右侧扫码·视频讲解 (5 分)如果函数$y = kx + b(k \neq 0)$的自变量 x 的取值范围是$-2 \leq x \leq 6$,相应的函数值的范围是$-11 \leq y \leq 9$,则 kb 的值为-15或-10。

答案： 选做题2: $-15$或$-10$【点拨】本题考查一次函数的增减性和求一次函数的表达式。
【解析】$\because$一次函数$y=kx+b(k\neq0)$的自变量$x$的取值范围是$-2\leqslant x\leqslant6$，相应的函数值的范围是$-11\leqslant y\leqslant9$。当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，$\therefore$该一次函数的图象经过$(-2,-11)$和$(6,9)$两点，$\begin{cases}-11=-2k+b,\\9=6k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{5}{2},\\b=-6,\end{cases}$$\therefore kb=\frac{5}{2}×(-6)=-15$；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore$该一次函数的图象经过$(-2,9)$和$(6,-11)$两点，$\begin{cases}9=-2k+b,\\-11=6k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{5}{2},\\b=4,\end{cases}$$\therefore kb=-\frac{5}{2}×4=-10$。综上所述，$kb$的值为$-15$或$-10$。故答案为$-15$或$-10$。

3. 右侧扫码·视频讲解 (5 分)已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3, \\ y = 4,\end{cases}$则方程组$\begin{cases}3a_1(x + 1) + 2b_1(y - 1) = 4c_1, \\ 3a_2(x + 1) + 2b_2(y - 1) = 4c_2\end{cases}$的解是 ______ 。

答案： 选做题3: $\begin{cases}x=3,\\y=9\end{cases}$【点拨】本题考查二元一次方程组的解法。
【解析】$\begin{cases}3a_{1}(x+1)+2b_{1}(y-1)=4c_{1},\\3a_{2}(x+1)+2b_{2}(y-1)=4c_{2},\end{cases}$方程两边同时除以$4$，
得$\begin{cases}a_{1}\frac{3}{4}(x+1)+b_{1}·\frac{1}{2}(y-1)=c_{1},\\a_{2}\frac{3}{4}(x+1)+b_{2}·\frac{1}{2}(y-1)=c_{2}.\end{cases}$
$\because\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}.\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3,\\y=4.\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}\frac{3}{4}(x+1)=3,\frac{1}{2}(y-1)=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3,\\y=9.\end{cases}$故答案为$\begin{cases}x=3,\\y=9\end{cases}$。

4. (5 分)在平面直角坐标系$xOy$中,已知点 A(-5,0),B(5,0),C(-5,12)。给出如下定义:若点$P(x_0,y_0)$向上平移$x_0$个单位长度(若$x_0 ＜ 0$,即向下平移$\vert x_0 \vert$个单位长度),再向右平移 6 个单位长度后的对应点 Q 在$\bigtriangleup ABC$的内部或边上,则称点 P 为$\bigtriangleup ABC$的“平移关联点”。若直线$y = -x + 6$上的一点 P 是$\bigtriangleup ABC$的“平移关联点”,且$\bigtriangleup ABQ$是等腰三角形,则点 P 的坐标为(-9,15)或(-6,12)。

答案：
选做题4: $(-9,15)$或$(-6,12)$【点拨】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理。
【解析】$\because A(-5,0)$，$B(5,0)$，$C(-5,12)$，$\therefore AB=10$，$OA=OB$，
设$P(m,-m+6)$，则$Q(m+6,6)$，$\therefore$点$Q$在直线$y=6$上。
$\triangle ABQ$是等腰三角形，分两种情况：如图，①当$AQ_{1}=BQ_{1}$时，过点$Q_{1}$作$Q_{1}E\perp AB$，则$EA=EB$。$\because OA=OB$，$\therefore O$，$E$两点重合，
$\therefore Q_{1}(0,6)$，$\therefore m+6=0$，$\therefore m=-6$，$\therefore P(-6,12)$；②当$BQ_{2}=AB=10$时，过点$Q_{2}$作$Q_{2}D\perp AB$，则$Q_{2}D=6$，$\therefore BD=\sqrt{BQ_{2}^{2}-Q_{2}D^{2}}=8$，$\therefore OD=BD-OB=3$，$\therefore Q_{2}(-3,6)$，$\therefore m+6=-3$，$\therefore m=-9$，$\therefore P(-9,15)$。综上所述，点$P$的坐标为$(-9,15)$或$(-6,12)$。