《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

19. (5分)已知$2a + 1$的算术平方根是5，$10 + 3b$的平方根是$\pm4$，$c$是$\sqrt{19}$的整数部分，求$a - 5b + c$的平方根。

答案： 19.【点拨】本题考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键。
【解析】$\because2a + 1$的算术平方根是$5$，$\therefore2a + 1 = 25$，解得$a = 12$。$\because10 + 3b$的平方根是$\pm4$，$\therefore10 + 3b = 16$，解得$b = 2$。$\because c$是$\sqrt{19}$的整数部分，而$4＜\sqrt{19}＜5$，$\therefore c = 4$，$\therefore a - 5b + c = 12 - 5×2 + 4 = 6$，$\therefore a - 5b + c$的平方根为$\pm\sqrt{6}$。

20. (6分)如图，$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,1)$，$B(4,2)$，$C(3,4)$。
(1)画出$\triangle ABC$关于$y$轴对称的$\triangle A_1B_1C_1$；
(2)$\triangle A_1B_1C_1$三个顶点的坐标分别为$A_1$(-1,1)，$B_1$(-4,2)，$C_1$(-3,4)；
(3)求$\triangle ABC$的面积。

答案：
20.【点拨】此题考查作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质。
【解析】$(1)$如图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求。

$(2)$由$(1)$知$A_{1}(-1,1)$，$B_{1}(-4,2)$，$C_{1}(-3,4)$。故答案为$(-1,1)$，$(-4,2)$，$(-3,4)$。
$(3)S_{\triangle ABC}=3×3-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×1×3=\frac{7}{2}$。

21. (6分)学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，$\angle C = 90°$，$AC = 12m$，$BC = 9m$，$BD = 17m$，$AD = 8m$，求四边形$ACBD$的面积。

答案：
21.【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，连接$AB$，先由勾股定理求出$AB$的长，再根据勾股定理的逆定理得出$\triangle ABD$是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可，理解定理，作出辅助线$AB$是解题的关键。
【解析】如图，连接$AB$，$\because \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=15(m)$。$\because15^{2}+8^{2}=17^{2}$，$\therefore AB^{2}+AD^{2}=BD^{2}$，$\therefore \triangle ABD$是直角三角形，

$\therefore S_{四边形ACBD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}×12×9+\frac{1}{2}×8×15 = 114(m^{2})$。
答：四边形$ACBD$的面积为$114m^{2}$。

22. 右侧扫码·视频讲解 (7分)在平面直角坐标系中，一次函数$y = kx + b$的图象经过点$A(-1,1)$和$B(2,10)$。
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)将直线$AB$向上平移2个单位长度，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积。

答案： 22.【点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题。
【解析】$(1)\because$一次函数$y = kx + b$的图象经过点$A(-1,1)$和$B(2,10)$，$\therefore\begin{cases}-k + b = 1\\2k + b = 10\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 3\\b = 4\end{cases}$，$\therefore y = 3x + 4$。
$(2)\because$一次函数的解析式为$y = 3x + 4$，$\therefore$直线$AB$向上平移$2$个单位长度后所得直线的解析式为$y = 3x + 6$。$\because$当$x = 0$时，$y = 6$；当$y = 0$时，$x = -2$，$\therefore$直线与坐标轴的交点为$(0,6)$，$(-2,0)$，$\therefore$平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积$=\frac{1}{2}×6×2 = 6$。

23. 右侧扫码·视频讲解 (8分)6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力。如图，台风“烟花”中心沿东西方向$AB$由$A$向$B$移动，已知点$C$为一海港，且点$C$与直线$AB$上的两点$A,B$的距离分别为$AC = 300km$，$BC = 400km$，又$AB = 500km$，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响。
(1)海港$C$受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为25km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？

答案：
23.【点拨】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答。
【解析】$(1)$海港$C$受台风影响。理由：$\because AC = 300km$，$BC = 400km$，$AB = 500km$，$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$。如图，过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$，

$\because \triangle ABC$是直角三角形，$\therefore AC· BC = CD· AB$，$\therefore300×400 = 500· CD$，$\therefore CD = 240km$。$\because$以台风中心为圆心，周围$260km$以内为受影响区域，$\therefore$海港$C$受台风影响。
$(2)$如图，当$EC = FC = 260km$时，正好影响$C$港口，$\because ED=\sqrt{EC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{260^{2}-240^{2}}=100(km)$，$\therefore EF = 2ED = 200km$。$\because$台风的速度为$25$千米/时，$\therefore200÷25 = 8$(时)。
答：台风影响该海港持续的时间为$8$时。