《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

23. 右侧扫码·视频讲解 （9 分）如图，$ \triangle ABC $中， AC 的垂直平分线分别交 BC ， AC 于点 E ， F ，$ \angle B = 2\angle C 。$
(1) 求证： AB = AE ；
(2) 作$ AD \perp BC $交 BC 于点 D ，若 AC = 7\ cm ，$ \triangle ABC $的周长为 17\ cm ，求$ \triangle ADC $的面积。

答案： 23.【点拨】本题考查等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一、勾股定理等知识的应用。
【解析】
(1)证明：
∵AC的垂直平分线分别交BC，AC于点E，F，
∴AE = CE，
∴∠CAE = ∠C，
∴∠AEB = 2∠C。
∵∠B = 2∠C，
∴∠B = ∠AEB，
∴AB = AE。
(2)
∵AC = 7cm，△ABC的周长为17cm，
∴AB + BC = 17 - 7 = 10(cm)，
∵AE = CE，
∴AB + BE + AE = 10cm。
∵AD⊥BE，AB = AE，
∴BD = DE，
∴AB + BD = DE + AE = DE + CE = $\frac{1}{2}$×10 = 5(cm)，即CD = 5cm，
在Rt△ADC中，AD = $\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{7^{2}-5^{2}} = 2\sqrt{6}$(cm)，
∴$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}×5×2\sqrt{6}=5\sqrt{6}(cm^{2})$。

24. 右侧扫码·视频讲解 (10 分)共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向 3～10 km 的出行市场。现有 A，B 两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中 A 品牌共享电动车的收费方式对应$ y_1 $，B 品牌共享电动车的收费方式对应$ y_2 $。
(1) 当$ x = $ 20 时，A，B 两种品牌共享电动车收费相同，此时收费为 8 元；
(2) 求骑行 B 品牌共享电动车超过 10 min 后的函数表达式；
(3) 请求出 A，B 两种品牌的共享电动车收费相差 3 元时$ x $的值。

答案： 24.【点拨】本题考查一次函数的应用，涉及通过函数图象获取信息、待定系数法求函数表达式、根据函数值关系列方程。
【解析】
(1)由图象可得，当x = 20时，A，B两种品牌共享电动车收费相同，此时收费8元。故答案为20,8。
(2)设骑行B品牌共享电动车超过10min后的函数表达式为y₂ = kx + b，
∵点(10,6)，(20,8)在该函数图象上，
∴代入y₂ = kx + b可得$\begin{cases}10k + b = 6\\20k + b = 8\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 0.2\\b = 4\end{cases}$
即骑行B品牌共享电动车超过10min后的函数表达式为y₂ = 0.2x + 4(x ＞ 10)。
(3)设骑行A品牌共享电动车对应的函数表达式为y₁ = ax，
∵点(20,8)在该函数图象上，
∴代入y₁ = ax可得8 = 20a，解得a = 0.4，
∴骑行A品牌共享电动车对应的函数表达式为y₁ = 0.4x，
将x = 10代入y₁ = 0.4x，得y₁ = 4，此时y₂ - y₁ = 2 ＜ 3。
①当0 ≤ x ≤ 10时，y₂ = 6，则将y₁ = 3代入y₁ = 0.4x，得x = 7.5；
②当x ＞ 10时，要使A，B两种品牌共享电动车收费相差3元，则0.4x - (0.2x + 4) = 3，解得x = 35。
综上可得，A，B两种品牌共享电动车收费相差3元时，x的值为7.5或35。

25. 右侧扫码·视频讲解 (12 分)菲菲同学在数学兴趣小组中探究了这样一个折叠问题：
(1) 如图 1，在平面直角坐标系中，点$ A $，$ B(0,4) $分别是坐标轴上的两点，当$ \angle BAO = 30° $时，将$ \triangle AOB $沿边$ AB $翻折得到$ \triangle ACB $，点$ O $的对应点为$ C $，则点$ C $的坐标为 ($2\sqrt{3}$,6) ；
(2) 如图 2，$ E $为平面直角坐标系内一点，过点$ E $作$ ED \perp x $轴于点$ D $，$ B $为$ y $轴上一点，$ A $为线段$ OD $上一动点，将$ \triangle AOB $沿$ AB $翻折得到$ \triangle ACB $，且$ E(16,17) $，$ B(0,5) $，当点$ C $落在$ BE $的连线上时，试求$ AE $所在直线的函数表达式；
(3) 如图 3，菲菲同学来到一家工厂，恰逢工厂师傅正在进行某一零件的剪裁，正好遇到了一个问题需要她的帮助：四边形$ OBED $是该零件平面示意图的一部分，$ A $，$ C $分别是$ OD $，$ BE $上的点，且$ \angle AOB = \angle ACB = \angle ODE = 90° $，$ OB = BC = 2 $，$ OD = DE = 8 $，现准备在$ DE $边上确定一点$ F $，画出一条分割线$ CF $，使得$ CF $平分四边形$ ADEC $的面积，若存在点$ F $，请求出$ EF $的长度；若不存在，请说明理由。

答案：
25.【点拨】本题考查平面几何相关知识，涉及图形的翻折、勾股定理、一次函数表达式的求解、图形面积的计算与分割等。
【解析】
(1)如图1所示，连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵B(0,4)，∠BAO = 30°，
∴OB = 4，AB = 2OB = 8，
在Rt△AOB中，AO = $\sqrt{AB^{2}-BO^{2}} = 4\sqrt{3}$，
∵∠BAO = 30°，将△AOB沿边AB翻折得到△ACB，点O的对应点为C，
∴AC = AO = $4\sqrt{3}$，∠OAC = 2∠BAO = 60°，
∴△AOC是等边三角形，则OC = OA = $4\sqrt{3}$，
∵CD⊥AO，
∴OD = $\frac{1}{2}$OA = $2\sqrt{3}$，
则在Rt△COD中，CD = $\sqrt{OC^{2}-OD^{2}} = 6$，
∴C($2\sqrt{3}$,6)。
故答案为($2\sqrt{3}$,6)。

(2)如图2所示，过点E作y轴的垂线，垂足为F，
∵E(16,17)，B(0,5)，
∴OF = DE = 17，OD = EF = 16，BO = 5，
∴BF = OF - BO = 17 - 5 = 12，
在Rt△BEF中，BE = $\sqrt{EF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{16^{2}+12^{2}} = 20$，
设A(a,0)，则OA = a，AD = OD - OA = 16 - a，
根据翻折可得AC = AO = a，BC = 5，∠ECA = ∠ACB = ∠AOB = 90°，
∴EC = BE - BC = 20 - 5 = 15，
在Rt△ACE中，AE² = EC² + AC² = 15² + a²，
在Rt△AED中，AE² = AD² + ED² = (16 - a)² + 17²，
∴15² + a² = (16 - a)² + 17²，解得a = 10，
∴A(10,0)，
设过点A(10,0)，E(16,17)的直线表达式为y = kx + b，
∴可得$\begin{cases}16k + b = 17\\10k + b = 0\end{cases}$解得$\begin{cases}k = \frac{17}{6}\\b = -\frac{85}{3}\end{cases}$
∴AE所在直线的函数表达式为y = $\frac{17}{6}x - \frac{85}{3}$。

(3)存在，EF = 5，理由如下：
如图3所示，过点B作BG⊥ED交ED于点G，
∵∠AOB = ∠ACB = 90°，OB = BC，AB = AB，
∴Rt△AOB≌Rt△ACB(HL)，
∴AC = AO，
∵BG⊥ED，
∴∠BGD = 90°。
又
∵∠BOD = ∠ODG = 90°，
∴四边形BODG为长方形，
∴GD = BO = 2，BG = OD = 8，
∴EG = ED - GD = 8 - 2 = 6，
在Rt△BEG中，BE = $\sqrt{BG^{2}+EG^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$，
∴EC = BE - BC = 10 - 2 = 8，
∴EC = ED。
在Rt△ACE和Rt△ADE中，$\begin{cases}AE = AE\\CE = DE\end{cases}$，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL)，
∴AC = AD，
∵AC = AO，
∴OA = AD = $\frac{1}{2}$OD = 4，
∴$S_{\triangle ACE}=S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}× AD· ED=\frac{1}{2}×4×8 = 16$，
则$S_{四边形ADEC}=16×2 = 32$。
如图4所示，在DE边上确定一点F，连接BF，CF，
∵CF平分四边形ADEC的面积，
∴$S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}S_{四边形ADEC}=16$。
$\frac{S_{\triangle CEF}}{S_{\triangle BCF}}=\frac{EC}{BC}$，则$S_{\triangle BCF}=4$，
∴$S_{\triangle BEF}=S_{\triangle ECF}+S_{\triangle BCF}=16 + 4 = 20$。
又
∵$S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}EF· DO = 4EF = 20$，
∴EF = 5。