《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

23. 右侧扫码·视频讲解 (9分)剪纸是一种镂空艺术,在视觉上给人以透空的艺术享受,剪纸内容多,寓意广,生活气息浓厚。某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共$60$套进行销售,已知购进$3$套甲种剪纸和$2$套乙种剪纸共需$230$元,购进$2$套甲种剪纸和$3$套乙种剪纸共需$220$元。
(1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元?
(2)设购进甲种剪纸装饰$x$套$(x ＞ 35)$,购买甲、乙两种剪纸装饰共花费$y$元,求$y$与$x$之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,若甲种剪纸的售价为$65$元/套,乙种剪纸的售价为$50$元/套。该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过$2\ 800$元,要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润,请你帮助商家设计购进方案,并求出最大利润。

答案： 23.[点拨]本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出函数关系式、掌握一次函数的增减性和一元一次不等式的解法是解题的关键。
[解析]
(1)设购进甲种剪纸的单价是$a$元，购进乙种剪纸的单价是$b$元。
根据题意，得$\begin{cases}3a + 2b = 230\\2a + 3b = 220\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 50\\b = 40\end{cases}$。
答:购进甲种剪纸的单价是$50$元，购进乙种剪纸的单价$40$元。
(2)根据题意，
得$y = 50x + 40(60 - x) = 10x + 2400(35 ＜ x \leq 60)$。
答:$y$与$x$之间的函数关系式为$y = 10x + 2400(35 ＜ x \leq 60)$。
(3)根据题意，得$10x + 2400 \leq 2800$，解得$x \leq 40$，$\because x ＞ 35$，$\therefore 35 ＜ x \leq 40$。
设商家获得的利润是$W$元，
则$W = (65 - 50)x + (50 - 40)(60 - x) = 5x + 600$，$\because 5 ＞ 0$，$\therefore W$随$x$的增大而增大。
$\because 35 ＜ x \leq 40$，$\therefore$当$x = 40$时，$W$的值最大，$W_{最大} = 5 × 40 + 600 = 800$，$60 - 40 = 20$（套）。
答:购进甲种剪纸$40$套、乙种剪纸$20$套可使商家获得最大利润，最大利润是$800$元。