《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

22. (8分) 国庆节假期间,小亮和妈妈到某度假村度假。返回时,他们先搭乘顺路车到$A$服务区,爸爸再驾车到$A$服务区接小亮和妈妈回家,一家人在$A$服务区见面后,休息了一会儿,然后乘坐爸爸的车以$60\ km/h$的速度返回家中。返回途中,小亮与自己家的距离$y(km)$和时间$x(h)$之间的关系大致如图所示。

(1) 小亮从度假村到$A$服务区的过程中,求$y$与$x$之间的函数关系式;
(2) 小亮从度假村回到自己家共用了多长时间?

答案： 22.[点拨]本题考查一次函数的应用。用待定系数法求出小亮从度假村到$A$服务区的过程中，$y$与$x$的函数关系式是解决本题的关键。
[解析]
(1)设小亮从度假村到$A$服务区的过程中，$y$与$x$的函数关系式是$y = kx + b(k \neq 0)$，$\because$经过点$(0,270)$，$(1,180)$，$\therefore \begin{cases} b = 270 \\ k + b = 180 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = - 90 \\ b = 270 \end{cases}$，$\therefore$小亮从度假村到$A$服务区的过程中，$y$与$x$的函数关系式是$y = - 90x + 270(0 \leqslant x \leqslant 2)$。
(2)当$x = 2$时，$y = - 90×2 + 270 = 90$，小亮从度假村回到自己家所用的时间为$2.5+\frac{90}{60}=2.5 + 1.5 = 4(h)$。
答:小亮从度假村回到自己家共用了$4$小时。

23. 右侧扫码·视频讲解 (11分) 如图,直线$PA$:$y = x + 2$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$,$Q$两点,直线$PB$:$y = -2x + m$与$x$轴交于点$B$,两直线交于点$P$,且点$P$的坐标为$(2,4)$。
(1) $m =$8;
(2) 求四边形$PQOB$的面积;
(3) $M$为直线$PA$上一点,且$\triangle PBM$的面积等于四边形$PQOB$的面积,求点$M$的坐标。

答案： 23.[点拨]本题考查一次函数的的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用面积公式计算是关键。
[解析]
(1)将$P(2,4)$代入$y = - 2x + m$得$4 = - 4 + m$。$\therefore m = 8$。故答案为$8$。
(2)$\because$直线$PA:y = x + 2$，令$y = 0$，$x + 2 = 0$，$x = - 2$；令$x = 0$，$y = 2$，$\therefore A(-2,0)$，$Q(0,2)$。又由
(1)得直线$PB:y = - 2x + 8$，令$y = 0$，$\therefore - 2x + 8 = 0$，$\therefore x = 4$，$\therefore B(4,0)$，$\therefore OA = 2$，$OB = 4$，$OQ = 2$，$AB = 6$。$\therefore S_{\triangle AOQ}=\frac{1}{2}OA · OQ=\frac{1}{2}×2×2 = 2$，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB · y_{p}=\frac{1}{2}×6×4 = 12$。$\therefore S_{四边形PQOB}=S_{\triangle ABP}-S_{\triangle AOQ}=12 - 2 = 10$。
(3)由题意，可设$M(m,m + 2)$。
①当点$M$在点$P$的上方时，$S_{\triangle MPB}=S_{四边形PQOB}=S_{\triangle MAB}-S_{\triangle ABP}=10$。$\therefore \frac{1}{2}×6×(m + 2)-12 = 10$，$\therefore m=\frac{16}{3}$，$\therefore M(\frac{16}{3},\frac{22}{3})$；
②当点$M$在点$P$的下方时，$S_{\triangle MPB}=S_{四边形PQOB}=S_{\triangle PAB}-S_{\triangle MAB}=10$。$\therefore 12-\frac{1}{2}×6×(m + 2)=10$。$\therefore m = -\frac{4}{3}$，$\therefore M(-\frac{4}{3},\frac{2}{3})$。
综上所述，点$M$的坐标为$(-\frac{4}{3},\frac{2}{3})$或$(\frac{16}{3},\frac{22}{3})$。