《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

9. 右侧扫码·视频讲解 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案。现有五种正方形纸片,面积分别是 1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则所需选取的三块纸片的面积分别是(D)。

A.1,4,5
B.2,2,4
C.3,4,5
D.2,3,5

答案： 9.D [点拨]本题考查勾股定理及其几何意义的应用。
[解析]A.$\because1 + 4 = 5$，$\therefore$两直角边分别为1和2，$\therefore$面积为$\frac{1}{2}×1×2 = 1$；B.$\because2 + 2 = 4$，$\therefore$两直角边均为$\sqrt{2}$，$\therefore$面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2} = 1$；C.$\because3 + 4 \neq 5$，$\therefore$不符合题意；D.$\because2 + 3 = 5$，$\therefore$两直角边分别为$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$，$\therefore$面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。$1＜\frac{\sqrt{6}}{2}$。故选D。

10. 右侧扫码·视频讲解 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 135^{\circ}$,$D$是$BC$的中点,连接$AD$,且$AD \perp AC$,$BD = \sqrt{10}$,则$\triangle ABC$的面积为(B)。

A.5
B.4
C.$2\sqrt{10}$
D.2

答案：
10.B [点拨]本题考查三角形面积计算、勾股定理、全等三角形的判定与性质。
[解析]如图，过点$B$作$AD$的垂线，交$AD$的延长线于点$M$，

$\because D$是$BC$的中点，$\therefore BD = CD$。$\because AD\perp AC$，$BM\perp AM$，$\therefore\angle CAD=\angle BMD = 90^{\circ}$，在$\triangle CAD$和$\triangle BMD$中，$\begin{cases}\angle CAD=\angle BMD\\\angle ADC=\angle MDB\\CD = BD\end{cases}$
$\therefore\triangle CAD\cong\triangle BMD(AAS)$，$\therefore AD = DM$，$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle MDB}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABM}$。$\because\angle BAC = 135^{\circ}$，$\therefore\angle BAM = 45^{\circ}$，$\therefore\triangle ABM$是等腰直角三角形，$\therefore AM = BM$。令$AD = x$，则$DM = x$，$BM = AM = 2x$，
在$Rt\triangle BDM$中，$(2x)^{2}+x^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，解得$x=\sqrt{2}$(负值已舍去)，$\therefore BM = AM = 2\sqrt{2}$，$\therefore S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，即$S_{\triangle ABC}=4$。故选B。

11. 已知一个正比例函数的图象经过点$(-2,3)$,则这个正比例函数的表达式是$y = -\frac{3}{2}x$。

答案： 11.$y =-\frac{3}{2}x$ [点拨]本题考查待定系数法求正比例函数表达式。
[解析]设函数表达式为$y = kx$，正比例函数的图象经过点$(-2,3)$，代入得$-2k = 3$，解得$k =-\frac{3}{2}$，则函数表达式为$y =-\frac{3}{2}x$。故答案为$y =-\frac{3}{2}x$。

12. 比较大小:$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$＞$\frac{8}{5}$(填“＞”“＜”或“=”)。

答案： 12.$＞$ [点拨]本题考查实数的大小比较，应先通分，再比较分子的大小。
[解析] $\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{5\sqrt{5}+5}{10}$，$\frac{8}{5}=\frac{16}{10}$，$\because5\sqrt{5}+5 - 16 = 5\sqrt{5}-11$，
$5\sqrt{5}=\sqrt{125}$，$11=\sqrt{121}$，$\sqrt{125}＞\sqrt{121}$，$\therefore5\sqrt{5}+5＞16$，
$\therefore\frac{5\sqrt{5}+5}{10}＞\frac{16}{10}$，$\therefore\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞\frac{8}{5}$。故答案为$＞$。

13. 已知方程组$\begin{cases}-3x + y + 3 = 0, \\3x + 2y - 6 = 0\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = \frac{4}{3}, \\y = 1.\end{cases}$则直线$y = 3x - 3$与$y = -\frac{3}{2}x + 3$的交点坐标为 ______ 。

答案： 13.$(\frac{4}{3},1)$ [点拨]本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，即两个一次函数图象的交点坐标与它们所对应的二元一次方程组的解是相对应的。
[解析] $\because$方程组$\begin{cases}-3x + y + 3 = 0\\3x + 2y - 6 = 0\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=\frac{4}{3}\\y = 1\end{cases}$
$\therefore$直线$y = 3x - 3$与$y =-\frac{3}{2}x + 3$的交点坐标为$(\frac{4}{3},1)$。故答案为$(\frac{4}{3},1)$。

14. 如图,在数轴上,点$A$表示 5,点$B$位于原点的两侧,且到原点的距离相等,则点$B$表示的数是-√5。

答案： 14.$-\sqrt{5}$ [点拨]本题考查数轴的性质以及相反数的概念，利用数轴上互为相反数的两数对应的点到原点的距离相等这一特性，根据已知点表示的数来确定其关于原点对称点所表示的数。
[解析] $\because$点$B$与点$A$位于原点的两侧，且到原点的距离相等，
$\therefore$点$A$与点$B$表示的数互为相反数，$\because$点$A$表示$\sqrt{5}$，$\therefore$点$B$表示的数是$-\sqrt{5}$。故答案为$-\sqrt{5}$。

15. 右侧扫码·视频讲解 某旅馆的客房有三人间和两人间两种,三人间每人每天 25 元,两人间每人每天 35 元,一个 79 人的旅游团到该旅馆住宿,租住了若干客房,且每个客房正好住满,一天共花去住宿费 2 315 元。设该旅游团租住三人间$x$间,两人间$y$间,请列出满足题意的方程组:。

答案： 15.$\begin{cases}3x + 2y = 79\\25×3x + 35×2y = 2315\end{cases}$ [点拨]本题考查二元一次方程组的实际应用，涉及根据实际问题中的人数和费用的等量关系，建立相应的数学模型，把实际问题转化为数学中的方程问题来求解。
[解析]设租住三人间$x$间，租住两人间$y$间，由题意得$\begin{cases}3x + 2y = 79\\25×3x + 35×2y = 2315\end{cases}$故答案为$\begin{cases}3x + 2y = 79\\25×3x + 35×2y = 2315\end{cases}$。

16. 右侧扫码·视频讲解 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 52^{\circ}$,$AB = AC$,$BD \perp AC$于点$D$,点$E$和点$F$分别在线段$BD$和$BC$上运动,且$BE = CF$。当$AE + AF$最小时,$ \angle AED$的度数是77°。

答案：
16.$77^{\circ}$ [点拨]本题考查最短路径问题，涉及全等三角形的性质、三角形外角，找到最短路径是解题的关键。
[解析]在$BC$下方作$\triangle CFM$，使$\triangle CFM\cong\triangle BEA$，连接$AM$，如图1，


则$\angle FCM=\angle EBA$，$AE = MF$，$AB = CM$，$\therefore AE + AF = MF + AF\geqslant AM$，即$AE + AF$的最小值为$AM$的长度，此时$A$，$F$，$M$三点在同一直线上，如图2，$\because\angle BAC = 52^{\circ}$，$AB = AC$，$\therefore\angle ACB=\angle ABC = 64^{\circ}$。$\because BD\perp AC$，$\therefore\angle EBA = 90^{\circ}-52^{\circ}=38^{\circ}$，$\therefore\angle FCM = 38^{\circ}$，$\therefore\angle ACM = 64^{\circ}+38^{\circ}=102^{\circ}$，$\because AB = AC = CM$，$\therefore\angle MAC=\angle M = 39^{\circ}$，$\therefore\angle BAE=\angle M = 39^{\circ}$，$\therefore\angle AED=\angle EBA+\angle BAE = 38^{\circ}+39^{\circ}=77^{\circ}$。故答案为$77^{\circ}$。

17. (6 分)计算。
(1)$\sqrt{27} - \sqrt{\frac{3}{2}} × \sqrt{8}$;
(2)$\sqrt{5} × (-\sqrt{10}) - (\frac{1}{7})^{-1} + | -2^3 |$。

答案： 17.[点拨]本题考查二次根式的混合运算，涉及负整数指数幂、绝对值的相关计算。
[解析]
(1) $\sqrt{27}-\sqrt{\frac{3}{2}}×\sqrt{8}$
$=3\sqrt{3}-\sqrt{\frac{3}{2}×8}$
$=3\sqrt{3}-\sqrt{12}$
$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}$。
(2) $\sqrt{5}×(-\sqrt{10})-(\frac{1}{7})^{-1}+\vert-2^{3}\vert$
$=-\sqrt{5×10}-7+\vert-8\vert$
$=-5\sqrt{2}-7 + 8$
$=1 - 5\sqrt{2}$。