《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

17. （4分）右侧扫码·视频讲解 已知$a - 5$的立方根是$-2$，$b$是$3$的算术平方根，$c$是$\sqrt{13}$的小数部分，求$a + b - c$的绝对值。

答案： 17.【点拨】本题考查算术平方根和立方根的综合应用。
【解析】$\because a - 5$的立方根是$-2$，
$\therefore a - 5 = (-2)^3 = -8$，$\therefore a = -3$。
$\because b$是3的算术平方根，$\therefore b = \sqrt{3}$。
$\because 9 ＜ 13 ＜ 16$，$\therefore 3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，$\therefore c = \sqrt{13} - 3$，
$\therefore |a + b - c| = |-3 + \sqrt{3} - \sqrt{13} + 3| = |\sqrt{3} - \sqrt{13}| = \sqrt{13} - \sqrt{3}$。

18. （4分）已知$x = 5 + \sqrt{3}$，$y = 5 - \sqrt{3}$，求$x^{2} - 4xy + y^{2}$的值。

答案： 18.【点拨】本题考查配方法，代数式求值，二次根式的混合运算。
【解析】$x^2 - 4xy + y^2 = (x - y)^2 - 2xy$，
当$x = 5 + \sqrt{3}$，$y = 5 - \sqrt{3}$时，
原式$=(5 + \sqrt{3} - 5 + \sqrt{3})^2 - 2 × (5 + \sqrt{3})(5 - \sqrt{3})$
$=12 - 2 × (25 - 3)$
$=12 - 44$
$=-32$。

19. （6分）某条道路限速$60\ km/h$，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪$A$正下方$5\ m$的$B$处，过了$1\ s$，小汽车到达$C$处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离$AC$为$13\ m$。
(1) 求$BC$的长；
(2) 这辆小汽车超速了吗？

答案： 19.【点拨】本题考查将实际问题转化为直角三角形中的数学问题。
【解析】$(1)$根据题意，得$AB = 5 m$，$AC = 13 m$，
由勾股定理，得$BC^2 + AB^2 = AC^2$，
$\therefore BC = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12( m)$，
故$BC$的长为$12 m$。
$(2)12 ÷ 1 = 12( m/s)$，
$\because 60 km/h = \frac{50}{3} m/s ＞ 12 m/s$，
$\therefore$这辆小汽车未超速。

20. （7分）如图，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(1, 2)$，点$B$的坐标为$(-1, 0)$，回答下列问题：
(1) 在图中画出平面直角坐标系；
(2) 标出点$A$关于$y$轴的对称点$C$，并写出点$C$的坐标；
(3) 分别连接$AB$，$AC$，$BC$，得到$\triangle ABC$，在平面内找一点$D$使$\triangle ABC$与点$B$，$C$，$D$组成的三角形全等，请直接写出点$D$的坐标。

答案：
20.【点拨】本题考查平面直角坐标系，关于$y$轴对称的点的特征，全等三角形的判定。
【解析】$(1)$画出平面直角坐标系如图1所示。

$(2)$点$A$关于$y$轴的对称点$C$如图2所示。

点$C$的坐标为$(-1,2)$。
$(3)\because \triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore$分别以$B$，$C$为直角顶点，以$BC$为直角边作等腰直角三角形，如图3所示，
则满足条件的点$D$的坐标为$(1,0)$或$(-3,2)$或$(-3,0)$。