《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

9. 如图，在一个长$AB$为$8\ \mathrm{cm}$，宽$AD$为$6\ \mathrm{cm}$的长方形木板上，放着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽$AD$平行且棱长大于$AD$，木块从正面看是边长为$2\ \mathrm{cm}$的正方形，一只蚂蚁从点$A$出发到达$BC$边中点$M$需要走的最短路程为(B)$\mathrm{cm}$。(从木板的上表面走)

A.$10$
B.$3\sqrt{17}$
C.$\sqrt{205}$
D.$6\sqrt{5}$

答案：
9.B [点拨]本题考查勾股定理与最短路径问题，解答本题的关键要明确两点之间线段最短。
[解析]如图所示，将木块展开；由题意得，展开后的长方形的长为$8 + 2 + 2 = 12( cm)$，宽为$6 cm$，即$BM = 3 cm$，$\therefore$一只蚂蚁从点$A$出发到达点$M$处需要走的最短路程为$\sqrt{12^{2}+3^{2}}=3\sqrt{17}( cm)$。

故选B。

10. 直线$y = k_1x + 2$与$y = k_2x + b$相交于点$(2, 0)$，且两直线与$y$轴围成的三角形面积为$6$，$P(1, m)$是三角形内部(包括边上)的一点，则$m$的最大值与最小值之差为(A)。

A.$3$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$3$或$\dfrac{3}{2}$
D.$3$或$6$

答案：
10.A [点拨]本题考查一次函数的图象，两条直线相交的问题，根据已知条件确定两个一次函数解析式是解题的关键。
[解析]$\because$直线$y = k_{1}x + 2$与$y = k_{2}x + b$相交于点$(2,0)$，$\therefore0 = 2k_{1}+2$，$0 = 2k_{2}+b$，解得$k_{1}=-1$，$k_{2}=-\frac{b}{2}$，$\therefore$两直线为$y=-x + 2$与$y=-\frac{b}{2}x + b$，设两直线$y=-x + 2$与$y=-\frac{b}{2}x + b$与$y$轴分别交于点$A,B$，则$A(0,2)$，$B(0,b)$，$AB = |b - 2|$，$\because$两直线与$y$轴围成的三角形面积为$6$，$\therefore\frac{1}{2}|b - 2|×2 = 6$，解得$b = 8$或$b = - 4$。当$b = 8$时，两直线为$y=-x + 2$与$y=-4x + 8$，如图1所示，$P(1,m)$是三角形内部（包括边上）的一点，

由图1可知，当$x = 1$时，$m$的最大值为$-4×1 + 8 = 4$，$m$的最小值为$-1 + 2 = 1$，$\therefore m$的最大值与最小值之差为$4 - 1 = 3$；当$b = - 4$时，两直线为$y=-x + 2$与$y=2x - 4$，如图2，
$P(1,m)$是三角形内部（包括边上）的一点，由图2可知，当$x = 1$时，$m$的最大值为$-1 + 2 = 1$，$m$的最小值为$2×1 - 4 = - 2$，

$\therefore m$的最大值与最小值之差为$1-(-2)=3$。综上所述，$m$的最大值与最小值之差为$3$。故选A。

11. 如图，实数$\sqrt{6}$在数轴上的对应点可能是C点。

答案： 11.C [点拨]本题考查算术平方根，数轴表示数，掌握算术平方根的定义是解决本题的关键。
[解析]$\because\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，$\therefore2＜\sqrt{6}＜3$，$\therefore$数轴上点$C$所表示的数可能是$\sqrt{6}$。故答案为C。

12. 平面直角坐标系中，点$A$在第二象限，若点$A$到$x$轴的距离为$3$，到$y$轴的距离为$4$，则点$A$的坐标为(-4,3)。

答案： 12.$(-4,3)$ [点拨]本题考查点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键，第二象限，点的横坐标为负数，纵坐标为正数，再根据点$A$到$x$轴的距离为$3$，到$y$轴的距离为$4$，即可确定点$A$坐标。
[解析]$\because$点$A$在第二象限，$\therefore$点$A$横坐标为负数，纵坐标为正数，$\because A$到$x$轴的距离为$3$，到$y$轴的距离为$4$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-4,3)$。故答案为$(-4,3)$。

13. 已知正比例函数$y = (m - 1)x^{|m|}$的图象经过第一、三象限，则$m$的值为2。

答案： 13.2 [点拨]本题考查正比例函数的性质，熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键。
[解析]由题知，因为函数$y=(m - 1)x^{5 - m^{2}}$是正比例函数，所以$5 - m^{2}=1$，解得$m=\pm2$。又因为此正比例函数的图象经过第一、三象限，所以$m - 1＞0$，解得$m＞1$，所以$m$的值为$2$。故答案为$2$。

14. 若点$A(-1, y_1)$和点$B(2, y_2)$在一次函数$y = -3x + b$的图象上，则$y_1$＞$y_2$。(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

答案： 14.$＞$ [点拨]本题考查一次函数的性质，牢记“$k＞0$，$y$随$x$的增大而增大；$k＜0$，$y$随$x$的增大而减小”是解题的关键。
[解析]$\because k=-3＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小，又$\because$点$A(-1,y_{1})$和点$B(2,y_{2})$在一次函数$y=-3x + b$的图象上，且$-1＜2$，$\therefore y_{1}＞y_{2}$。故答案为$＞$。

15. 已知$\triangle ABC$中，$AB = 15$，$AC = 6\sqrt{5}$，且$BC$边上的高$AD = 12$，则$BC$的长为15或3。

答案：
15.$15$或$3$ [点拨]本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键。
[解析]如图1，$\because$在$\triangle ABC$中，$AB = 15$，$AC = 6\sqrt{5}$，$BC$边上的高$AD = 12$，$\therefore BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$，$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(6\sqrt{5})^{2}-12^{2}}=6$，$\therefore BC=BD + DC = 15$。
如图2，$\because$在$ Rt\triangle ABD$中，$AB = 15$，$AD = 12$，$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$，$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(6\sqrt{5})^{2}-12^{2}}=6$，$\therefore BC=BD - CD = 9 - 6 = 3$。

综上所述，$BC$的长为$15$或$3$。故答案为$15$或$3$。

16. 如图，$C$是直线$y = 3x + 6$在第二象限上的一个点，点$C$关于$x$轴对称的点为$D$，关于$y$轴对称的点为$E$，连接$DE, CE$，则线段$DE$的最小值为$\frac{6\sqrt{10}}{5}$。

答案：
16.$\frac{6\sqrt{10}}{5}$ [点拨]本题考查一次函数的图象和性质，矩形的性质和判定，轴对称的性质，三角形中位线定理，两点之间线段最短，勾股定理等知识。正确作出辅助线是解题的关键。
[解析]如图，设$DC$交$x$轴于点$P$，$CE$交$y$轴于点$Q$，直线交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，$DE$交$y$轴于点$M$，连接$OC$。

$\because$直线$y = 3x + 6$，$\therefore$当$x = 0$时，$y = 6$；当$y = 0$时，$x = - 2$，$\therefore B(0,6)$，$A(-2,0)$，$\therefore AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=2\sqrt{10}$，根据对称可得，$PC = PD$，$CQ = EQ$，$CD// y$轴，$CE// x$轴，$\therefore QM=\frac{1}{2}CD$，$DM = EM$。$\because CQ// PO$，$PC// OQ$，$\therefore$四边形$CPOQ$是平行四边形。$\because\angle POQ = 90^{\circ}$，$\therefore$平行四边形$CPOQ$是矩形，$\therefore PC = OQ$，$\therefore QM = OQ$，$\therefore$点$M$与点$O$重合，$\therefore DE$过原点$O$。$\because\angle DCE = 90^{\circ}$，$\therefore DE = 2OC$，$\therefore$当$OC$最小时，$DE$最小，当$OC\perp AB$时，$OC$最小。$\because S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}OA· OB$，$\therefore OC=\frac{OA· OB}{AB}=\frac{2×6}{2\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$，$\therefore DE$的最小值为$\frac{6\sqrt{10}}{5}$。
故答案为$\frac{6\sqrt{10}}{5}$。

17. （10 分）计算。
(1) $\sqrt{24} ÷ \sqrt{2} - \sqrt{8} × \sqrt{6} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(2) $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) + (2\sqrt{3} - 1)^2$。

答案： 17.[点拨]本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则。
[解析]
(1)$\sqrt{24}÷\sqrt{2}-\sqrt{8}×\sqrt{6}+\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=\sqrt{24÷2}-\sqrt{8×6}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=-\frac{5\sqrt{3}}{3}$。
(2)$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)+(2\sqrt{3}-1)^{2}$
$=5 - 4 + 12 - 4\sqrt{3}+1$
$=14 - 4\sqrt{3}$。

18. (5 分)如图，在平面直角坐标系中。
(1) 图中点$B$的坐标是(-4,5)；
(2) 点$B$关于$y$轴对称的点$D$的坐标是(4,5)；
(3) 已知点$A$的坐标是$(-3, 0)$，若点$B$关于原点对称的点是$C$，请在方格纸中画出$\triangle ABC$，$\triangle ABC$的面积是15。

答案：
18.[点拨]本题考查作图——旋转变换、轴对称，熟练掌握中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键。
[解析]
(1)由题图可得，点$B$的坐标是$(-4,5)$。故答案为$(-4,5)$。
(2)点$B$关于$y$轴对称的点$D$的坐标是$(4,5)$。故答案为$(4,5)$。
(3)如图，$\triangle ABC$即为所求。

$\triangle ABC$的面积$=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}×3×5+\frac{1}{2}×3×5=15$。
故答案为$15$。