《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

15. 右侧扫码·视频讲解 在平面直角坐标系中,已知点$P(-1,-3)$和点$Q(3a + 1,3 - 2a)$,且$PQ // x$轴,则点$Q$的坐标为$(10,-3)$。
[视频讲解]

答案： 15.$(10,-3)$ [点拨]本题考查坐标与图形性质，熟知平行于$x$轴的直线上点的坐标特征是解题的关键
[解析]因为点$P(-1,-3)$和点$Q(3a + 1,3 - 2a)$，且$PQ // x$轴，所以$3 - 2a = - 3$，解得$a = 3$，所以$3a + 1 = 10$，所以点$Q$的坐标为$(10,-3)$。故答案为$(10,-3)$。

16. 右侧扫码·视频讲解 如图,在平面直角坐标系中,直线$y = x + 4$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$,$B$,$C$是$OB$的中点,$D$为$y$轴正半轴上一动点,连接$AD$,以$AD$为边在$AD$右侧作等腰直角三角形$ADE$,其中$\angle ADE = 90°$,则$CE$的最小值为$3 \sqrt{2}$。

[视频讲解]

答案：
16.$3 \sqrt{2}$ [点拨]本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，表示出点$E$的坐标是解题的关键。
[解析]如图，作$EF \perp y$轴于点$F$，$\because$直线$y = x + 4$与$x$轴，$y$轴分别交于点$A$，$B$，$\therefore A(-4,0)$，$B(0,4)$，

$\therefore OA = OB = 4$。$\because C$是$OB$的中点，$\therefore C(0,2)$。由题意设$D(0,n)(n＞0)$，则$OD = n$。$\because \angle ADE = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ADO + \angle EDF = 90^{\circ}$。$\because \angle ADO + \angle OAD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle EDF = \angle OAD$。$\because$三角形$ADE$是等腰直角三角形，$\angle ADE = 90^{\circ}$，$\therefore AD = DE$，在$\triangle AOD$和$\triangle DFE$中，$\begin{cases} \angle OAD = \angle EDF \\ \angle AOD = \angle DFE = 90^{\circ} \\ AD = DE \end{cases}$，$\therefore \triangle AOD \cong \triangle DFE(AAS)$，$\therefore AO = DF = 4$，$DO = EF = n$，$\therefore E(n,n - 4)$，$\therefore CE^{2}=n^{2}+(n - 4 - 2)^{2}=2(n - 3)^{2}+18$，$\therefore n = 3$时，$CE^{2}$有最小值$18$，$\therefore CE$的最小值为$3 \sqrt{2}$。故答案为$3 \sqrt{2}$。

17. (15分)计算。
(1) $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 2$;
(2) $(\sqrt{13} - 3)(\sqrt{13} + 3)$;
(3) $\sqrt{32} - 3\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2}$;
(4) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{-2} + (1 - \sqrt{3})^0 - |2 - \sqrt{5}|$;
(5) $2\sqrt{12} ÷ \sqrt{2} + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 - 3\sqrt{6}$。

答案： 17.[点拨]本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键。
[解析]$(1)\frac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-2=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-2=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-2=3 - 2 = 1$。
$(2)(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)=13 - 9 = 4$。
$(3)\sqrt{32}-3\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$。
$(4)(-\frac{1}{3})^{-2}+(1 - \sqrt{3})^{0}-|2 - \sqrt{5}|=9 + 1-(\sqrt{5}-2)=9 + 1-\sqrt{5}+2=12-\sqrt{5}$。
$(5)2\sqrt{12} ÷ \sqrt{2}+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}-3\sqrt{6}=2\sqrt{6}+2-2\sqrt{6}+3-3\sqrt{6}=5 - 3\sqrt{6}$。