《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

21. （5分）右侧扫码·视频讲解 快递公司为顾客邮寄的快递提供纸箱包装服务，现有三款包装纸箱，底面规格如表：
已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为$90\ cm^2$，$160\ cm^2$，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由。

答案： 21.【点拨】本题考查二次根式的应用，无理数的估算。
【解析】从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱，
理由如下：
$\because$甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为$90 cm^2$，$160 cm^2$，
$\therefore$甲礼品的底面边长为$\sqrt{90} = 3\sqrt{10}( cm)$，乙礼品的底面边长为$\sqrt{160} = 4\sqrt{10}( cm)$，
$\therefore 3\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 7\sqrt{10}( cm)$。
$\because 7\sqrt{10} cm = \sqrt{490} cm$，$484 ＜ 490 ＜ 529$，
$\therefore 22 ＜ 7\sqrt{10} ＜ 23$。
$\because 4\sqrt{10} cm = \sqrt{160} cm$，$144 ＜ 160 ＜ 169$，
$\therefore 12 ＜ 4\sqrt{10} ＜ 13$，
$\therefore$小号包装纸箱长度不够，大号包装纸箱长度偏大，中号包装纸箱长、宽适中，
$\therefore$从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱。

22. (10分)右侧扫码·视频讲解 如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$B$分别为$x$，$y$轴上一点，将线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$AC$，连接$BC$。
(1) 如图1，若点$A(6, 0)$，$B(0, 12)$，则点$C$的坐标为$$$(18,6)$$$；
(2) 如图2，若点$A$为$x$轴上一动点，点$B(0, 12)$，使得$S_{\triangle BOC} = 2S_{\triangle AOB}$，求点$C$的坐标；
(3) 如图3，若点$B$为$y$轴上一动点，点$A(6, 0)$，请问$\triangle OAC$的周长是否有最小值？若有，求$\triangle OAC$的周长的最小值并求点$C$的坐标；若没有，请说明理由。

答案：
22.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，坐标与图形面积，旋转的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解题的关键。
【解析】$(1)$如图1，过点$C$作$CH \perp x$轴于点$H$，
$\therefore \angle AOB = \angle AHC = 90°$，
$\therefore \angle ABO + \angle BAO = 90°$。
$\because AB = AC$，$\angle BAC = 90°$，
$\therefore \angle BAO + \angle CAH = 90°$，
$\therefore \angle ABO = \angle CAH$，

$\therefore \triangle ABO \cong \triangle CAH(AAS)$，
$\therefore BO = AH$，$OA = CH$。
$\because$点$A(6,0)$，$B(0,12)$，$\therefore CH = OA = 6$，$AH = OB = 12$，
$\therefore OH = OA + AH = 6 + 12 = 18$，$\therefore C(18,6)$。故答案为$(18,6)$。
$(2)$如图2，连接$OC$。
当点$A$在$x$轴正半轴上时，设点$A(x,0)$，点$B(0,12)$，过点$C$作$CH \perp x$轴于点$H$，

同理可得$\triangle ABO \cong \triangle CAH$，
$\therefore BO = AH = 12$，$OA = CH = x$，
$\therefore OH = OA + AH = 12 + x$。
$\because S_{\triangle BOC} = 2S_{\triangle AOB}$，
$\therefore \frac{1}{2} × 12 × (12 + x) = 2 × \frac{1}{2} × 12 × x$，
解得$x = 12$，$\therefore$点$C(24,12)$；
当点$A$在$x$轴的负半轴上时，过点$C$作$CH \perp x$轴于点$H$，连接$OC$，如图3。
设点$A(x,0)$，点$B(0,12)$，
同理可得$\triangle ABO \cong \triangle CAH$，
$\therefore BO = AH = 12$，$OA = CH = -x$，

$\therefore OH = 12 + x$，
$\therefore C(12 + x,x)$。
$\because S_{\triangle BOC} = 2S_{\triangle AOB}$，
$\therefore \frac{1}{2} × 12 × (12 + x) = 2 × \frac{1}{2} × 12 · (-x)$，
解得$x = -4$，$\therefore C(8,-4)$。
综上所述，点$C$的坐标为$(24,12)$或$(8,-4)$。
$(3)$有，$\triangle OAC$的周长的最小值为$6\sqrt{5}$，点$C$的坐标为$(3,6)$。
理由如下：
如图4，过点$C$作$CH \perp OA$于点$H$，

同理可得$\triangle ABO \cong \triangle CAH$，
$\therefore BO = AH$，$OA = CH = 6$，
$\therefore$点$C$在直线$y = 6$上运动。
作点$O$关于直线$y = 6$的对称点$G$，则$G(0,12)$，连接$CG$，
当$A$，$C$，$G$三点共线时，$CO + CA = CG + CA = GA$，
此时$\triangle OAC$的周长有最小值，此时$AG = \sqrt{6^2 + 12^2} = 6\sqrt{5}$，
$\therefore \triangle OAC$周长的最小值为$6\sqrt{5} + 6$；
$\because CO = CG$，$\therefore \angle CGO = \angle COG$。
$\because \angle AOG = 90°$，
$\therefore \angle CGO + \angle CAO = 90° = \angle COG + \angle COA$，
$\therefore \angle COA = \angle CAO$，$\therefore CO = CA$，
$\therefore CA = CG$，$\therefore C$为$AG$的中点，$\therefore C(3,6)$。