《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

10. 右侧扫码·视频讲解 如图,在平面直角坐标系中,长方形$OABC$在第一象限,$OC,OA$分别在$x$轴和$y$轴上,$P,Q$分别为$OA,OC$上一点,点$M$在$AB$上,$AM = 2$,$N$为$BC$的中点,若点$B$的坐标是$(6,4)$,则四边形$PQNM$的周长最小值为(D)。


A.10
B.$8 + 2\sqrt{5}$
C.$8\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$
D.$10 + 2\sqrt{5}$

答案：
10. D [点拨]本题考查最短距离问题，勾股定理。
[解析]如图，作点M关于y轴的对称点M'，点N关于x轴的对称点N'，连接M'N'，PM'，QN'，则PM' = PM，QN' = QN，
∴PQ + PM + QN + MN = PQ + PM' + QN' + MN，
∴当点M'，P，Q，N'四点共线时，PQ + PM' + QN'最小，为M'N'的长度，此时四边形PQNM的周长最小。
∵长方形OABC在第一象限，点B的坐标是(6,4)，
∴OC = AB = 6，OA = BC = 4，∠B = 90°。
∵AM = 2，
∴BM = 6 - 2 = 4。
∵N为BC的中点，
∴BN = CN = 2，
∴MN = $\sqrt{BM^{2} + BN^{2}}$ = $\sqrt{4^{2} + 2^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$。
∵AM' = AM = 2，CN' = CN = 2，
∴BM' = 6 + 2 = 8，BN' = 4 + 2 = 6，
∴M'N' = $\sqrt{BM'^{2} + BN'^{2}}$ = $\sqrt{8^{2} + 6^{2}}$ = 10，
∴四边形PQNM的周长最小值为10 + 2$\sqrt{5}$。

故选D。

11. 已知点$P(a - 3,a + 2)$在$x$轴上,则$a$的值为-2。

答案： 11. - 2 [点拨]本题考查x轴上点的坐标特征。
[解析]
∵点P(a - 3,a + 2)在x轴上，
∴a + 2 = 0，解得a = - 2。故答案为 - 2。

12. 光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中射向空气时,要发生折射。由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的。如图,若平行光线由水中射向空气时所形成的$\angle 1 = 50°$,$\angle 4 = 75°$,则$\angle 2 + \angle 3 =$155°。

答案： 12. 155° [点拨]本题考查平行线的性质。
[解析]
∵在水中平行的光线，在空气中也是平行的，∠1 = 50°，
∴∠3 = ∠1 = 50°。
∵∠4 = 75°，
∴∠2 = 180° - ∠4 = 105°，
∴∠2 + ∠3 = 105° + 50° = 155°。故答案为155°。

13. 若$1 \lt a \lt 3$,则$\sqrt{(a - 3)^2} + \sqrt{(a - 1)^2} =$2。

答案： 13. 2 [点拨]本题考查二次根式的运算。
[解析]
∵1 ＜ a ＜ 3，
∴a - 3 ＜ 0，a - 1 ＞ 0，
∴$\sqrt{(a - 3)^{2}}$ + $\sqrt{(a - 1)^{2}}$ = - (a - 3) + (a - 1) = 2。故答案为2。

14. 右侧扫码·视频讲解 如图,$\triangle ABC$中,$AD$平分$\angle BAC$,$AD = BD$,$DE\perp AC$于点$E$,$AE = 2\sqrt{5}$,$BD = 6$,则点$D$到$AB$的距离为4。

答案： 14. 4 [点拨]本题考查角平分线的性质，勾股定理。
[解析]如题图，过点D作DF⊥AB于点F。
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DE⊥AC，
∴DE = DF。
∵AD = BD，AE = 2$\sqrt{5}$，BD = 6，
∴DE = $\sqrt{AD^{2} - AE^{2}}$ = $\sqrt{6^{2} - (2\sqrt{5})^{2}}$ = 4，
∴DF = 4。故答案为4。

15. 如图是一个数值转换程序,当输入的$x$值为64时,输出的$y$值为$\sqrt{2}$。

答案： 15. $\sqrt{2}$ [点拨]本题考查求一个数的立方根、算术平方根，根据流程图逐个求解即可得到答案。
[解析]由题意可得，输入64时，$\sqrt[3]{64}$ = 4，$\sqrt{4}$ = 2，2是有理数，再次取算术平方根得到$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，输出。故答案为$\sqrt{2}$。

16. 右侧扫码·视频讲解 如图,$\triangle ABC$中,$A\left(\frac{3}{2},1\right)$,$B(-2,0)$,$C(4,6)$,线段$BC$上有一点$P$(不与点$B,C$重合),连接$AP$,动点$M$从点$A$出发,沿线段$AP$以每秒1个单位长度的速度运动到点$P$,再沿线段$PC$以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度运动到点$C$后停止,当点$M$在整个运动过程中用时最短时,点$P$的坐标是($\frac{3}{2}$,$\frac{7}{2}$)。

答案：
16. ($\frac{3}{2}$,$\frac{7}{2}$) [点拨]本题考查平面直角坐标系中的动点问题，最短路径问题，一次函数的应用，构造等腰直角三角形，将有关线段放在一个三角形中，利用两点之间线段最短，找到最短路径下点P的坐标是解答本题的关键。
[解析]点P在整个过程中的用时t = AP + $\sqrt{2}$CP。如图，分别作CD // x轴，BD // y轴，使CD，BD交于点D，过点P作PE⊥CD于点E，连接AE。
∵B(- 2,0)，C(4,6)，
∴CD = 4 - (- 2) = 6，BD = 6，
∴BD = CD。
∵∠BDC = 90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴∠ECP = 45°。
∵PE⊥CD，
∴△PEC也是等腰直角三角形，
∴PE = $\frac{\sqrt{2}}{2}$CP，
∴t = AP + $\sqrt{2}$CP = AP + PE ≥ AE。
当AE⊥CD时，AE取得最小值，过点A作AE'⊥CD于点E'，则点E在点E'处时，运动时间最短，此时AE'与BC的交点为点P的位置，且点P的横坐标为$\frac{3}{2}$。
设直线BC的解析式为y = kx + b(k ≠ 0)，将点C(4,6)，B(- 2,0)代入解析式，得$\begin{cases}6 = 4k + b \\0 = - 2k + b \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\b = 2 \end{cases}$，
∴直线BC的解析式为y = x + 2。
将x = $\frac{3}{2}$代入y = x + 2，得y = $\frac{7}{2}$，
∴当点M在整个运动过程中用时最短时，点P的坐标为($\frac{3}{2}$,$\frac{7}{2}$)。

故答案为($\frac{3}{2}$,$\frac{7}{2}$)。

17. (8分)计算。
(1) $\sqrt{25} - \sqrt[3]{8} + (-1)^{2025} + |1 - \sqrt{2}|$;
(2) $\frac{\sqrt{2} × \sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{6}} - \frac{2}{2 - \sqrt{3}}$。

答案： 17. [点拨]本题考查二次根式的混合运算。
[解析]
(1) $\sqrt{25} - \sqrt[3]{8} + (-1)^{2025} + |1 - \sqrt{2}|$
= 5 - 2 - 1 + $\sqrt{2}$ - 1
= 1 + $\sqrt{2}$。
(2) $\frac{\sqrt{2}×\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{6}} - \frac{2}{2 - \sqrt{3}}$
= $\frac{\sqrt{2×6}}{2} + \sqrt{\frac{18}{6}} - \frac{2×(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$
= $\frac{\sqrt{12}}{2} + \sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3}$
= $\sqrt{3} + \sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3}$
= - 4。