《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

15. (6分)如图,直线$y = -3x + 6$与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点。
(1)求点$A$和点$B$的坐标;
(2)若$P$是直线$AB$上一点,且$\triangle BOP$的面积为18,求点$P$的坐标。

答案： 15.【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何图形面积的综合。
【解析】
(1)将y = 0代入y = -3x + 6，
得-3x + 6 = 0，解得x = 2，
∴点A的坐标为(2,0)。
将x = 0代入y = -3x + 6，
得y = 6，
∴点B的坐标为(0,6)。
(2)
∵点P在直线AB上，
∴设点P(m, -3m + 6)。
∵$S_{\triangle BOP} = 18，$
∴$\frac{1}{2}OB·$|x_P| = 18，即$\frac{1}{2}×6$|m| = 18，
解得m = ±6，
∴点P的坐标为(6, -12)或(-6,24)。

16. (7分)阅读下列解方程组的方法,然后解决问题。
解方程组$\begin{cases}20x + 19y = 17, &①\\17x + 16y = 14. &②\end{cases}$
时,我们如果直接考虑消元,那将是比较复杂的,而采用下面的解法则比
较简便。
解:① - ②,得$3x + 3y = 3,\therefore x + y = 1,③$
③ × 16,得16x + 16y = 16。 ④
② - ④,得x = -2,代入③得y = 3,
$\therefore$方程组的解是$\begin{cases}x = -2, \\y = 3 \end{cases}。$
(1)请采用上面的方法解方程组$\begin{cases}2024x + 2023y = 2022, \\2021x + 2020y = 2019; \end{cases}$
(2)关于x,y的方程组$\begin{cases}(a + 2)x + ay = a + 7, \a - 5)x + (a - 7)y = a\end{cases}$的解是 ______ 。

答案： 16.【点拨】本题考查用加减消元法解二元一次方程组。
【解析$】(1)\begin{cases}2024x + 2023y = 2022, &①\\ 2021x + 2020y = 2019。$$ &② \end{cases}$
① - ②，得3x + 3y = 3，
∴x + y = 1。③
③×2020，得2020x + 2020y = 2020，④
② - ④，得x = -1。
把x = -1代入③，得y = 2，
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = -1, \\ y = 2。$$ \end{cases}$
$(2)\begin{cases}(a + 2)x + ay = a + 7, &①\\ (a - 5)x + (a - 7)y = a。$$ &② \end{cases}$
① - ②，得7x + 7y = 7，
∴x + y = 1，③
③×(a - 5)，得(a - 5)x + (a - 5)y = a - 5，④
② - ④，得-2y = 5，解得$y = -\frac{5}{2}。$
把$y = -\frac{5}{2}$代入③，得$x = \frac{7}{2}，$
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{7}{2}, \\ y = -\frac{5}{2}。$$ \end{cases}$

17. (10分)暑假期间,小刚一家准备乘坐高铁前往西安旅游,计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新
能源汽车去看兵马俑。 甲公司:按日收取固定租金105元,另外再按租车时间计费;乙公司:无固定
租金,直接以租车时间计费,每小时的租金是40元。 设租车时间为$x$小时,租用甲公司的车所需费
用为$y_1$元,租用乙公司的车所需费用为$y_2$元,其关系如图所示。
根据以上信息,解决下列问题:
(1)分别求出$y_1$,$y_2$与$x$之间的解析式;
(2)当租车时间为多少时,两个公司所需费用相同?
(3)根据(2)的计算结果,结合图象,请你帮助小刚直接写出选择怎样的出游方案更合理。

答案： 17.【点拨】本题考查求一次函数解析式及一次函数的应用。
【解析】
(1)设$y_1 = ax + b(a ≠ 0)，$$y_2 = kx(k ≠ 0)。$
把(0,105)，(1,125)代入$y_1 = ax + b(a ≠ 0)，$
得$\begin{cases}105 = b, \\ 125 = a + b, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = 20, \\ b = 105。$$ \end{cases}$
∴$y_1 = 20x + 105。$
把(1,40)代入$y_2 = kx(k ≠ 0)，$
得40 = k，
∴$y_2 = 40x。$
(2)由函数图象可知，当$y_1 = y_2$时，两个公司所需费用相同，
令20x + 105 = 40x，解得$x = \frac{21}{4}。$
∴当租车时间为$\frac{21}{4}$小时时，两个公司所需费用相同。
(3)当租车时间为$\frac{21}{4}$小时时，两个公司所需费用相同；
当$y_1 ＞ y_2$时，$0 ＜ x ＜ \frac{21}{4}，$
∴当租车时间$0 ＜ x ＜ \frac{21}{4}$时，甲公司所需费用较高，选择乙公司比较划算；
当$y_1 $＜ y_2时，x ＞$ \frac{21}{4}，$
∴当租车时间$x ＞ \frac{21}{4}$时，乙公司所需费用较高，选择甲公司比较划算。