《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

9. 已知$\sqrt{4 - a}+4 = a$,则$\sqrt{a + 5}$的值为(B)。

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： 9. B【点拨】本题考查二次根式的性质。【解析】$\because\sqrt{4 - a}+4 = a$，$\therefore\sqrt{4 - a}=a - 4$，$\therefore a - 4\geq0$，$4 - a\geq0$，$\therefore a = 4,\therefore\sqrt{a + 5}=\sqrt{4 + 5}=3$。故选B。

10. 右侧扫码·视频讲解 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 3$,$BC = 4$,$E$为射线$CB$上一动点(不与点$C$重合),将$\triangle CDE$沿$DE$所在直线折叠,点$C$落在点$C'$处,连接$AC'$,当$\triangle AC'D$为直角三角形时,$CE$的长为(C)。

A.$4 + 4\sqrt{7}$
B.$4 - 4\sqrt{5}$
C.$4+\sqrt{7}$或$4 - \sqrt{7}$
D.$4 + 4\sqrt{7}$或$4 - 4\sqrt{5}$

答案：
10. C【点拨】本题考查翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理。【解析】$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore\angle B = \angle C = 90^{\circ}$，$AD = BC = 4$，$CD = AB = 3$。由折叠的性质得$C'D = CD = 3$，$C'E = CE$，$\angle DC'E = \angle C = 90^{\circ}$。设$CE = C'E = x$，当$\triangle AC'D$为直角三角形时，$\angle AC'D = 90^{\circ}$，$\therefore\angle AC'D+\angle DC'E = 180^{\circ}$，$\therefore A,C',E$三点共线，分两种情况：
①点$E$在线段$CB$上时，如图1所示，
则$\angle DC'E = \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\angle AC'D = 90^{\circ}$，$\therefore AC' = \sqrt{AD^{2}-C'D^{2}} = \sqrt{4^{2}-3^{2}} = \sqrt{7}$。在$ Rt\triangle ABE$中，$BE = 4 - x$，$AE = x + \sqrt{7}$，由勾股定理得$(4 - x)^{2}+3^{2} = (x + \sqrt{7})^{2}$，解得$x = 4 - \sqrt{7},\therefore CE = 4 - \sqrt{7}$；

②点$E$在线段$CB$的延长线上时，
如图2所示，则$\angle DC'E = \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore AC' = \sqrt{AD^{2}-C'D^{2}} = \sqrt{4^{2}-3^{2}} = \sqrt{7}$。在$ Rt\triangle ABE$中，$BE = x - 4$，$AE = x - \sqrt{7}$，由勾股定理得$(x - 4)^{2}+3^{2} = (x - \sqrt{7})^{2}$，解得$x = 4 + \sqrt{7},\therefore CE = 4 + \sqrt{7}$。综上所述，当$\triangle AC'D$为直角三角形时，$CE$的长为$4 - \sqrt{7}$或$4 + \sqrt{7}$。故选C。

11. $\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。

答案： 11. $\pm2$【点拨】本题考查平方根的定义。【解析】$\because\sqrt{16}=4$，$\therefore\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。故答案为$\pm2$。

12. 比较实数的大小:$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$＞$$\frac{1}{3}$。(填“＞”或“＜”)

答案： 12. $＞$【点拨】本题考查实数的大小比较。先判断$\sqrt{5}$的取值范围，最后再进行比较即可。【解析】$\because\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，$\therefore\sqrt{5}-1＞1$，$\therefore\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$，$\because\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，$\therefore\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{3}$。故答案为$＞$。

13. 已知第四象限有一点$P$,且点$P$到$x$轴的距离为3,到原点的距离为5,则点$P$坐标是$(4, - 3)$。

答案： 13. $(4, - 3)$【点拨】本题考查点的坐标及勾股定理。【解析】$\because$点$P$在第四象限，且点$P$到$x$轴的距离为$3$，到原点的距离为$5$，$\therefore$点$P$到$y$轴的距离为$\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4,\therefore$点$P$的坐标为$(4, - 3)$。故答案为$(4, - 3)$。

14. 右侧扫码·视频讲解 实数$a,b,c$在数轴上对应的点的位置如图,那么$\sqrt{(a - b)^{2}}+\sqrt[3]{(a + b)^{3}}-\vert b - c\vert$化简的结果是$3b - c$。

答案： 14. $3b - c$【点拨】本题考查根据数轴上点的位置判断式子的符号，化简绝对值，平方根的性质，立方根的定义。【解析】由数轴知$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，$\therefore a - b ＜ 0$，$b - c ＜ 0$，$\therefore\sqrt{(a - b)^{2}}+\sqrt[3]{(a + b)^{3}}-\vert b - c\vert=\vert a - b\vert+(a + b)+b - c=-a + b + a + b + b - c = 3b - c$。故答案为$3b - c$。

15. 在平面直角坐标系中,已知两点坐标$A(1,3)$,$B(m + 2,m - 1)$。若$AB// x$轴,则$AB$的长是$5$。

答案： 15. $5$【点拨】本题考查与$x$轴平行的直线上的点的坐标特征。【解析】$\because AB// x$轴，两点坐标$A(1,3)$，$B(m + 2,m - 1)$，$\therefore m - 1 = 3$，$\therefore m = 4$，$\therefore B(6,3)$，$\therefore AB = 6 - 1 = 5$。故答案为$5$。

16. 右侧扫码·视频讲解 如图,在四边形$ABCD$中,$AD = CD$,$\angle ADC = 120^{\circ}$,$\angle CBA = 60^{\circ}$,$BC = 4$,$AB = 10$,则对角线$BD$的长是$\frac{14\sqrt{3}}{3}$。

答案：
16. $\frac{14\sqrt{3}}{3}$【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质。【解析】如图，延长$BA$到点$E$，使得$AE = CB$，连接$DE$。$\because$四边形$ABCD$的内角和为$360^{\circ}$，$\therefore\angle BCD+\angle CBA+\angle BAD+\angle CDA = 360^{\circ}$。$\because\angle ADC = 120^{\circ}$，$\angle CBA = 60^{\circ}$，$\therefore\angle BCD+\angle BAD = 180^{\circ}$。$\because\angle EAD+\angle BAD = 180^{\circ}$，$\therefore\angle EAD = \angle BCD$。

在$\triangle EAD$和$\triangle BCD$中，$\begin{cases}EA = BC\\\angle EAD = \angle BCD\\AD = CD\end{cases}$，$\therefore\triangle EAD\cong\triangle BCD( SAS)$，$\therefore BD = ED$，$\angle BDC = \angle EDA$。$\because\angle BDC+\angle BDA = 120^{\circ}$，$\therefore\angle EDA+\angle BDA = 120^{\circ}$，$\therefore\angle BDE = 120^{\circ}$，$\angle DBE = \angle DEB = 30^{\circ}$。$\because BC = EA = 4$，$AB = 10$，$\therefore BE = AB + EA = 10 + 4 = 14$。过点$D$作$DF\bot AB$，垂足为$F$，则$BF = EF = \frac{1}{2}BE = 7$。设$DF = x$，则$BD = 2x$。在$ Rt\triangle BDF$中，$BD^{2}-DF^{2} = BF^{2}$，故$(2x)^{2}-x^{2} = 7^{2}$，解得$x = \frac{7\sqrt{3}}{3}$（负值已舍去），故$BD = 2x = \frac{14\sqrt{3}}{3}$。故答案为$\frac{14\sqrt{3}}{3}$。

17. (20分)计算。
(1)$2(x + 1)^{3}+16 = 0$;
(2)$\vert\sqrt{8}-4\vert-(2022-\pi)^{0}+(\frac{1}{3})^{-2}+4\sqrt{\frac{1}{2}}$;
(3)$(\sqrt{27}+\sqrt{\frac{1}{3}})×\sqrt{3}-\sqrt{3}×\sqrt{6}$;
(4)$(2-\sqrt{3})^{2}+\sqrt{27}-\sqrt{75}÷\sqrt{3}$。

答案： 17. 【点拨】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算。【解析】
(1)$2(x + 1)^{3}+16 = 0$，整理得$(x + 1)^{3} = - 8$，$\therefore x + 1 = - 2$，解得$x = - 3$。
(2)$\vert\sqrt{8}-4\vert-(2022 - \pi)^{0}+(\frac{1}{3})^{-2}+4\sqrt{\frac{1}{2}}=4 - 2\sqrt{2}-1 + 9 + 4×\frac{\sqrt{2}}{2}=4 - 2\sqrt{2}-1 + 9 + 2\sqrt{2}=12$。
(3)$(\sqrt{27}+\sqrt{\frac{1}{3}})×\sqrt{3}-\sqrt{3}×\sqrt{6}=3\sqrt{3}×\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}}×3-\sqrt{3×6}=9 + 1 - 3\sqrt{2}=10 - 3\sqrt{2}$。
(4)$(2 - \sqrt{3})^{2}+\sqrt{27}-\sqrt{75}÷\sqrt{3}=4 - 4\sqrt{3}+3 + 3\sqrt{3}-5=2 - \sqrt{3}$。